Номер 4, страница 92 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. На какую длину волны настроен колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью $L = 2$ мкГн и плоского конденсатора с площадью пластин $S = 800 \text{ см}^2$ и расстоянием $d = 1 \text{ см}$ между ними? Пространство между пластинами заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 11$.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 2$ мкГн
Площадь пластин конденсатора, $S = 800$ см²
Расстояние между пластинами, $d = 1$ см
Диэлектрическая проницаемость, $\epsilon = 11$
Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м
Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:
$L = 2 \cdot 10^{-6}$ Гн
$S = 800 \text{ см}^2 = 800 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 8 \cdot 10^{-2}$ м²
$d = 1 \text{ см} = 10^{-2}$ м

Найти:

Длину волны, $\lambda$

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с периодом его собственных колебаний $\text{T}$ и скоростью света в вакууме $\text{c}$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период колебаний LC-контура определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Следовательно, для нахождения длины волны необходимо сначала определить ёмкость $\text{C}$ конденсатора. Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком между пластинами рассчитывается по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Подставим числовые значения для расчёта ёмкости:

$C = \frac{11 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{10^{-2} \text{ м}} = 7.788 \cdot 10^{-10}$ Ф

Теперь, зная индуктивность $\text{L}$ и ёмкость $\text{C}$, мы можем найти период колебаний контура:

$T = 2\pi\sqrt{2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 7.788 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{15.576 \cdot 10^{-16}} \text{ с} \approx 2\pi \cdot 3.947 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 2.48 \cdot 10^{-7}$ с

Наконец, рассчитаем искомую длину волны:

$\lambda = c \cdot T = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 2.48 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 74.4$ м

Ответ: Длина волны, на которую настроен колебательный контур, составляет примерно $74.4$ м.