Номер 3, страница 114 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Какую наименьшую толщину $\text{d}$ должна иметь пластинка, изготовленная из материала с показателем преломления $n = 1,54$, чтобы при ее освещении красным светом с длиной волны $\lambda = 590 \text{ нм}$ в отраженном свете казалась: а) красной; б) черной? Свет падает перпендикулярно поверхности пластинки.

Дано:

Показатель преломления пластинки: $n = 1,54$

Длина волны света в вакууме: $\lambda = 590 \text{ нм}$

Угол падения света: $\alpha = 0^\circ$ (перпендикулярно)

$ \lambda = 590 \text{ нм} = 590 \cdot 10^{-9} \text{ м} $

Найти:

Наименьшую толщину пластинки $d_{min}$.

Решение:

Явление, которое определяет цвет пластинки в отраженном свете, — это интерференция световых волн. Интерферируют два луча: луч 1, отраженный от верхней поверхности пластинки, и луч 2, отраженный от нижней поверхности.

Оптическая разность хода $\Delta$ между этими лучами складывается из двух частей:

1. Разность хода, обусловленная прохождением света через пластинку. Поскольку свет падает перпендикулярно, он проходит расстояние, равное удвоенной толщине пластинки $\text{2d}$. Оптическая длина этого пути равна $2dn$.

2. Разность хода, возникающая из-за отражения света на границах раздела сред. Луч 1 отражается от границы воздух-пластинка. Так как он переходит из среды с меньшим показателем преломления ($n_{воздуха} \approx 1$) в среду с большим ($n=1,54$), то при отражении фаза волны меняется на $\pi$. Это эквивалентно потере полуволны, то есть добавляет к разности хода величину $\lambda/2$. Луч 2 отражается от границы пластинка-воздух. Отражение происходит от среды с меньшим показателем преломления, поэтому изменения фазы не происходит.

Таким образом, суммарная оптическая разность хода между лучами 1 и 2 составляет:

$\Delta = 2dn + \frac{\lambda}{2}$

а) красной

Чтобы пластинка в отраженном свете казалась красной (яркой), необходимо выполнить условие интерференционного максимума. Это происходит, когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн:

$\Delta = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, ...$

Подставляем выражение для $\Delta$:

$2dn + \frac{\lambda}{2} = m\lambda$

Выразим толщину $\text{d}$:

$2dn = m\lambda - \frac{\lambda}{2} = (m - \frac{1}{2})\lambda$

$d = \frac{(2m - 1)\lambda}{4n}$

Наименьшая толщина $d_{min}$ соответствует наименьшему возможному значению $m=1$ (при $m=0$ толщина была бы отрицательной).

$d_{min} = \frac{(2 \cdot 1 - 1)\lambda}{4n} = \frac{\lambda}{4n}$

Выполним расчет:

$d_{min} = \frac{590 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{4 \cdot 1,54} = \frac{590}{6,16} \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 95,78 \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 95,8 \text{ нм}$

Ответ: Наименьшая толщина, при которой пластинка будет казаться красной, составляет $d \approx 95,8 \text{ нм}$.

б) черной

Чтобы пластинка казалась черной, необходимо выполнить условие интерференционного минимума (лучи гасят друг друга). Это происходит, когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:

$\Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m = 0, 1, 2, ...$

Подставляем выражение для $\Delta$:

$2dn + \frac{\lambda}{2} = (m + \frac{1}{2})\lambda$

Выразим толщину $\text{d}$:

$2dn = m\lambda$

$d = \frac{m\lambda}{2n}$

Наименьшая ненулевая толщина $d_{min}$ соответствует наименьшему ненулевому значению $m=1$ (случай $m=0$ соответствует нулевой толщине, то есть отсутствию пластинки).

$d_{min} = \frac{1 \cdot \lambda}{2n} = \frac{\lambda}{2n}$

Выполним расчет:

$d_{min} = \frac{590 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{2 \cdot 1,54} = \frac{590}{3,08} \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 191,56 \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 191,6 \text{ нм}$

Ответ: Наименьшая толщина, при которой пластинка будет казаться черной, составляет $d \approx 191,6 \text{ нм}$.