Номер 5, страница 119 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5*. Чему равна ширина всего спектра первого порядка, полученного при помощи дифракционной решетки с периодом $d = 0,01$ мм? Длины волн заключены в пределах от $0,38$ мкм до $0,76$ мкм. Расстояние от дифракционной решетки до экрана $L = 0,5$ м.

Дано:

Период дифракционной решетки $d = 0,01 \text{ мм}$
Минимальная длина волны $\lambda_1 = 0,38 \text{ мкм}$
Максимальная длина волны $\lambda_2 = 0,76 \text{ мкм}$
Расстояние до экрана $L = 0,5 \text{ м}$
Порядок спектра $k = 1$

$d = 0,01 \text{ мм} = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10^{-5} \text{ м}$
$\lambda_1 = 0,38 \text{ мкм} = 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$\lambda_2 = 0,76 \text{ мкм} = 0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Ширина спектра первого порядка $\Delta x$

Решение:

Условие дифракционного максимума для дифракционной решетки имеет вид:
$d \sin\varphi = k\lambda$
где $\text{d}$ — период решетки, $\varphi$ — угол дифракции, $\text{k}$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.
Положение максимума на экране, находящемся на расстоянии $\text{L}$ от решетки, определяется как $x = L \tan\varphi$.
Так как углы дифракции в данном случае малы (можно проверить: $\sin\varphi_{max} = k\lambda_2/d = 1 \cdot 0,76 \cdot 10^{-6} / 10^{-5} = 0,076$, что значительно меньше 1), можно использовать приближение $\sin\varphi \approx \tan\varphi$.
Тогда $x = L \tan\varphi \approx L \sin\varphi$.
Подставив выражение для $\sin\varphi$ из условия максимума, получим:
$x \approx L \frac{k\lambda}{d}$
Положение фиолетовой границы спектра первого порядка ($k=1$) соответствует длине волны $\lambda_1$:
$x_1 = L \frac{k\lambda_1}{d}$
Положение красной границы спектра первого порядка ($k=1$) соответствует длине волны $\lambda_2$:
$x_2 = L \frac{k\lambda_2}{d}$
Ширина спектра первого порядка $\Delta x$ равна разности положений красной и фиолетовой границ:
$\Delta x = x_2 - x_1 = L \frac{k\lambda_2}{d} - L \frac{k\lambda_1}{d} = \frac{kL}{d}(\lambda_2 - \lambda_1)$
Подставим числовые значения:
$\Delta x = \frac{1 \cdot 0,5 \text{ м}}{10^{-5} \text{ м}} (0,76 \cdot 10^{-6} \text{ м} - 0,38 \cdot 10^{-6} \text{ м})$
$\Delta x = 5 \cdot 10^4 \cdot (0,38 \cdot 10^{-6}) \text{ м} = 1,9 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,019 \text{ м}$
Переведем в сантиметры для наглядности: $0,019 \text{ м} = 1,9 \text{ см}$.

Ответ: $0,019 \text{ м}$ или $1,9 \text{ см}$.