Номер 2, страница 119 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Дифракционная решетка расположена параллельно экрану на расстоянии 0,7 м от него. Определите количество штрихов на 1 мм для этой дифракционной решетки, если при нормальном падении на нее светового пучка с длиной волны 430 нм первый дифракционный максимум на экране находится на расстоянии 3 см от центральной светлой полосы. Считать, что $sin\varphi \approx tg\varphi$.

Дано:

Расстояние от решетки до экрана $L = 0,7$ м
Длина волны света $\lambda = 430$ нм
Порядок дифракционного максимума $k = 1$
Расстояние от центрального максимума до первого $x = 3$ см

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 430 \text{ нм} = 430 \times 10^{-9}$ м
$x = 3 \text{ см} = 0,03$ м

Найти:

Количество штрихов на 1 мм, $\text{N}$.

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки имеет вид:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $\text{d}$ – период решетки, $\varphi$ – угол дифракции, $\text{k}$ – порядок максимума, $\lambda$ – длина волны света.

Из геометрии установки тангенс угла дифракции $\varphi$ можно определить как отношение расстояния $\text{x}$ на экране от центральной полосы до максимума к расстоянию $\text{L}$ от решетки до экрана:

$\tan\varphi = \frac{x}{L}$

Согласно условию задачи, для малых углов дифракции можно считать, что $\sin\varphi \approx \tan\varphi$. Тогда:

$\sin\varphi \approx \frac{x}{L}$

Подставим это приближение в формулу дифракционной решетки:

$d \frac{x}{L} = k\lambda$

Выразим отсюда период решетки $\text{d}$:

$d = \frac{k\lambda L}{x}$

Подставим числовые значения в единицах СИ:

$d = \frac{1 \cdot (430 \cdot 10^{-9} \text{ м}) \cdot 0,7 \text{ м}}{0,03 \text{ м}} = \frac{301 \cdot 10^{-9}}{0,03} \text{ м} \approx 1,0033 \cdot 10^{-5}$ м

Количество штрихов на 1 мм ($\text{N}$) – это величина, обратная периоду решетки, выраженному в миллиметрах. Сначала переведем период $\text{d}$ в миллиметры:

$d \approx 1,0033 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 1,0033 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \text{ мм} = 1,0033 \cdot 10^{-2}$ мм

Теперь найдем искомое количество штрихов на 1 мм:

$N = \frac{1 \text{ мм}}{d} = \frac{1}{1,0033 \cdot 10^{-2}} \text{ штр/мм} \approx 99,67$ штр/мм

Округляя полученный результат до целого числа, получаем 100.

Ответ: 100 штрихов/мм.