Номер 3, страница 147 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Высота пламени свечи $h = 5$ см. Линза дает на экране действительное изображение этого пламени высотой $H_1 = 15$ см. Не трогая линзу, свечу отодвинули на расстояние $\Delta d = 1,5$ см дальше от линзы и, передвинув экран, вновь получили резкое изображение пламени высотой $H_2 = 10$ см. Определите фокусное расстояние линзы.

Дано:

$h = 5$ см, $H_1 = 15$ см, $\Delta d = 1,5$ см, $H_2 = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$h = 0,05$ м

$H_1 = 0,15$ м

$\Delta d = 0,015$ м

$H_2 = 0,10$ м

Найти:

$\text{F}$

Решение:

Для решения задачи используются формула тонкой линзы и формула линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, а $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Формула линейного увеличения: $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$, где $\text{H}$ — высота изображения, $\text{h}$ — высота предмета.

Рассмотрим два случая, описанных в условии задачи.

1. Начальное положение

В первом случае линейное увеличение линзы составляет:

$\Gamma_1 = \frac{H_1}{h} = \frac{0,15 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = 3$.

Из формулы увеличения $\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1}$ выразим расстояние до изображения $f_1$ через расстояние до предмета $d_1$: $f_1 = 3d_1$.

Подставим это соотношение в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{3d_1} = \frac{1}{F}$

$\frac{3+1}{3d_1} = \frac{1}{F} \implies \frac{4}{3d_1} = \frac{1}{F}$

Отсюда выразим фокусное расстояние: $F = \frac{3d_1}{4}$ (1).

2. Конечное положение

После того как свечу отодвинули, новое расстояние до предмета стало $d_2 = d_1 + \Delta d$.

Линейное увеличение во втором случае:

$\Gamma_2 = \frac{H_2}{h} = \frac{0,10 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = 2$.

Аналогично первому случаю, получаем соотношение для второго положения: $f_2 = 2d_2$.

Подставим это в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{2d_2} = \frac{1}{F}$

$\frac{2+1}{2d_2} = \frac{1}{F} \implies \frac{3}{2d_2} = \frac{1}{F}$

Отсюда второе выражение для фокусного расстояния: $F = \frac{2d_2}{3}$ (2).

3. Вычисление фокусного расстояния

Поскольку линза одна и та же, ее фокусное расстояние не меняется. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$\frac{3d_1}{4} = \frac{2d_2}{3}$

$9d_1 = 8d_2$

Подставим в это равенство выражение для $d_2 = d_1 + \Delta d$:

$9d_1 = 8(d_1 + \Delta d)$

$9d_1 = 8d_1 + 8\Delta d$

$d_1 = 8\Delta d$

Теперь можем найти начальное расстояние от свечи до линзы, используя данные из условия:

$d_1 = 8 \times 0,015 \text{ м} = 0,12 \text{ м}$.

Наконец, подставим значение $d_1$ в любое из выражений для $\text{F}$, например, в (1):

$F = \frac{3d_1}{4} = \frac{3 \times 0,12 \text{ м}}{4} = 3 \times 0,03 \text{ м} = 0,09 \text{ м}$.

Переведем результат в сантиметры: $0,09 \text{ м} = 9 \text{ см}$.

Ответ: $9 \text{ см}$.