Номер 4, страница 147 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. С помощью линзы получают увеличенное в $\Gamma_1 = 2$ раза действительное изображение плоского предмета. Если предмет сместить на $\Delta d = 1,5$ см в сторону линзы, то изображение будет увеличенным в $\Gamma_2 = 3$ раза. Чему равно фокусное расстояние линзы?

Дано:

$\Gamma_1 = 2$

$\Gamma_2 = 3$

$\Delta d = 1,5$ см

Перевод в СИ:

$\Delta d = 0,015$ м

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

Поскольку изображение действительное и увеличенное, используется собирающая линза, а предмет находится между фокусом и двойным фокусом ($F < d < 2F$).

Формула тонкой линзы имеет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f'}$

где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $f'$ — расстояние от линзы до изображения.

Поперечное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как:

$\Gamma = \frac{f'}{d}$

Рассмотрим два случая.

1. Начальное положение предмета.

Пусть расстояние от предмета до линзы равно $d_1$, а расстояние от линзы до изображения — $f'_1$. Увеличение в этом случае $\Gamma_1 = 2$.

Из формулы увеличения: $\Gamma_1 = \frac{f'_1}{d_1} = 2$, откуда $f'_1 = 2d_1$.

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f'_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{2d_1} = \frac{2+1}{2d_1} = \frac{3}{2d_1}$

Из этого соотношения можно выразить $d_1$ через $\text{F}$:

$d_1 = \frac{3}{2}F$

2. Конечное положение предмета.

Предмет сместили на $\Delta d$ в сторону линзы. Новое расстояние от предмета до линзы будет $d_2 = d_1 - \Delta d$.

Новое увеличение $\Gamma_2 = 3$. Пусть новое расстояние до изображения — $f'_2$.

Из формулы увеличения: $\Gamma_2 = \frac{f'_2}{d_2} = 3$, откуда $f'_2 = 3d_2$.

Снова подставим это в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{3d_2} = \frac{3+1}{3d_2} = \frac{4}{3d_2}$

Выразим $d_2$ через $\text{F}$:

$d_2 = \frac{4}{3}F$

3. Нахождение фокусного расстояния.

Теперь мы имеем систему из двух выражений для $d_1$ и $d_2$, а также их связь через $\Delta d$.

$d_2 = d_1 - \Delta d$

Подставим в это уравнение выражения для $d_1$ и $d_2$, которые мы получили ранее:

$\frac{4}{3}F = \frac{3}{2}F - \Delta d$

Теперь решим это уравнение относительно $\text{F}$. Перенесем слагаемые, содержащие $\text{F}$, в одну сторону:

$\Delta d = \frac{3}{2}F - \frac{4}{3}F$

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

$\Delta d = (\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2})F = (\frac{9}{6} - \frac{8}{6})F = \frac{1}{6}F$

Отсюда находим фокусное расстояние:

$F = 6 \Delta d$

Подставим заданное значение $\Delta d = 1,5$ см:

$F = 6 \cdot 1,5 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: $9 \text{ см}$.