Номер 5, страница 147 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5*. На тонкую рассеивающую линзу падает цилиндрический пучок света параллельно главной оптический оси. Диаметр пучка $d = 5 \text{ см}$. За линзой перпендикулярно ее главной оптической оси на расстоянии $l = 20 \text{ см}$ установлен экран. Диаметр пучка на экране $D = 15 \text{ см}$. Определите фокусное расстояние линзы.

Дано:

Диаметр падающего пучка света: $d = 5$ см

Расстояние от линзы до экрана: $l = 20$ см

Диаметр пучка света на экране: $D = 15$ см

Перевод в систему СИ:

$d = 0.05$ м

$l = 0.20$ м

$D = 0.15$ м

Найти:

Фокусное расстояние линзы $\text{F}$.

Решение:

Поскольку на линзу падает пучок света, параллельный главной оптической оси, после прохождения через рассеивающую линзу лучи расходятся так, как будто они вышли из мнимого фокуса, расположенного перед линзой. Расстояние от оптического центра линзы до этого фокуса равно модулю фокусного расстояния $|F|$.

Рассмотрим ход крайнего луча пучка, идущего на расстоянии $r_1 = d/2$ от главной оптической оси. После преломления луч попадает на экран, расположенный на расстоянии $\text{l}$ от линзы, на расстоянии $r_2 = D/2$ от главной оптической оси.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника, которые образуются при построении хода луча. Первый треугольник с катетами $|F|$ и $r_1$ (образован продолжением преломлённого луча до пересечения с главной оптической осью в фокусе и плоскостью линзы). Второй треугольник с катетами $(|F| + l)$ и $r_2$ (образован продолжением преломлённого луча, главной оптической осью и плоскостью экрана).

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{r_1}{|F|} = \frac{r_2}{|F| + l}$

Подставим значения радиусов $r_1 = d/2$ и $r_2 = D/2$:

$\frac{d/2}{|F|} = \frac{D/2}{|F| + l}$

Это уравнение можно упростить, умножив обе части на 2:

$\frac{d}{|F|} = \frac{D}{|F| + l}$

Теперь решим это уравнение относительно $|F|$:

$d \cdot (|F| + l) = D \cdot |F|$

$d \cdot |F| + d \cdot l = D \cdot |F|$

$d \cdot l = D \cdot |F| - d \cdot |F|$

$d \cdot l = |F| \cdot (D - d)$

$|F| = \frac{d \cdot l}{D - d}$

Подставим числовые значения. Можно проводить вычисления в сантиметрах, так как в формуле используются отношения длин.

$|F| = \frac{5 \text{ см} \cdot 20 \text{ см}}{15 \text{ см} - 5 \text{ см}} = \frac{100 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 10 \text{ см}$

Полученное значение $\text{10}$ см — это модуль фокусного расстояния. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние по соглашению о знаках является отрицательной величиной.

$F = -|F| = -10$ см

Ответ: фокусное расстояние линзы равно -10 см.