Задание 2, страница 159 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. Определите скорость распространения 1 и 2 луча света с использованием классических формул сложения скорости c – света и v – скорости «мирового эфира», учитывая, что плечи интерферометра равны $PZ_1 = PZ_2 = L$.

2. Докажите, что время распространения по двум направлениям отличается в $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ раз.

1. Дано:

$\text{c}$ - скорость света в «мировом эфире»
$\text{v}$ - скорость интерферометра относительно «мирового эфира»
$pZ_1 = pZ_2 = L$ - длина плеч интерферометра

Найти:

$v_1$ - скорости распространения луча 1
$v_2$ - скорость распространения луча 2

Решение:

Рассмотрим движение интерферометра в системе отсчета, связанной с неподвижным «мировым эфиром». Пусть интерферометр движется со скоростью $\text{v}$ вдоль плеча 1 (путь $pZ_1$). Тогда плечо 2 (путь $pZ_2$) будет перпендикулярно направлению движения. Скорость света относительно эфира всегда равна $\text{c}$. Для нахождения скоростей относительно интерферометра используем классический (галилеевский) закон сложения скоростей.

Для луча 1 (движение вдоль направления скорости $\text{v}$):
Луч света распространяется от полупрозрачного зеркала P до зеркала $Z_1$ и обратно. При движении света от P к $Z_1$ (по направлению движения интерферометра), скорость света относительно прибора равна разности скорости света в эфире и скорости прибора: $v_{1, \text{туда}} = c - v$. При движении обратно от $Z_1$ к P (против направления движения интерферометра), скорость света относительно прибора равна сумме скоростей: $v_{1, \text{обратно}} = c + v$.

Для луча 2 (движение перпендикулярно направлению скорости $\text{v}$):
Луч света распространяется от P к $Z_2$ и обратно. За время $t_{2, \text{туда}}$, пока свет добирается до зеркала $Z_2$, сам интерферометр смещается на расстояние $v \cdot t_{2, \text{туда}}$. Путь, который свет проходит в эфире, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $\text{L}$ (длина плеча) и $v \cdot t_{2, \text{туда}}$. Длина этой гипотенузы равна $c \cdot t_{2, \text{туда}}$.
По теореме Пифагора: $(c \cdot t_{2, \text{туда}})^2 = L^2 + (v \cdot t_{2, \text{туда}})^2$.
$c^2 t_{2, \text{туда}}^2 - v^2 t_{2, \text{туда}}^2 = L^2$
$t_{2, \text{туда}}^2 (c^2 - v^2) = L^2$
$t_{2, \text{туда}} = \frac{L}{\sqrt{c^2 - v^2}}$.
Скорость света относительно интерферометра в этом плече — это эффективная скорость, равная отношению длины плеча $\text{L}$ ко времени его прохождения $t_{2, \text{туда}}$: $v_2 = \frac{L}{t_{2, \text{туда}}} = \frac{L}{L / \sqrt{c^2 - v^2}} = \sqrt{c^2 - v^2}$.
Из-за симметрии, скорость на обратном пути будет такой же.

Ответ: Скорость луча 1 относительно интерферометра составляет $c-v$ при движении по направлению скорости эфира и $c+v$ при движении против. Скорость луча 2 в перпендикулярном направлении составляет $\sqrt{c^2-v^2}$.

2. Дано:

$t_1$ - время распространения луча 1 (туда и обратно)
$t_2$ - время распространения луча 2 (туда и обратно)
$\text{L}$ - длина плеч интерферометра
$\text{c}$ - скорость света в «мировом эфире»
$\text{v}$ - скорость интерферометра

Найти:

Доказать, что время распространения по двум направлениям отличается в $\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ раз.

Решение:

Найдем полное время, которое требуется лучам 1 и 2, чтобы пройти свои пути туда и обратно.

Время для луча 1 (продольное плечо):
Время движения к зеркалу $Z_1$: $t_{1, \text{туда}} = \frac{L}{c-v}$.
Время движения обратно к P: $t_{1, \text{обратно}} = \frac{L}{c+v}$.
Общее время $t_1$ равно сумме этих времен:
$t_1 = t_{1, \text{туда}} + t_{1, \text{обратно}} = \frac{L}{c-v} + \frac{L}{c+v} = \frac{L(c+v) + L(c-v)}{(c-v)(c+v)} = \frac{2Lc}{c^2-v^2}$.
Вынесем $c^2$ в знаменателе: $t_1 = \frac{2Lc}{c^2(1-v^2/c^2)} = \frac{2L}{c} \cdot \frac{1}{1-v^2/c^2}$.

Время для луча 2 (поперечное плечо):
Как было найдено в пункте 1, время движения к зеркалу $Z_2$ составляет $t_{2, \text{туда}} = \frac{L}{\sqrt{c^2-v^2}}$.
Путь обратно симметричен, поэтому время возвращения $t_{2, \text{обратно}}$ такое же.
Общее время $t_2$ равно:
$t_2 = t_{2, \text{туда}} + t_{2, \text{обратно}} = 2 \cdot \frac{L}{\sqrt{c^2-v^2}} = \frac{2L}{\sqrt{c^2(1-v^2/c^2)}} = \frac{2L}{c\sqrt{1-v^2/c^2}}$.
$t_2 = \frac{2L}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Сравнение времен $t_1$ и $t_2$:
Теперь найдем, во сколько раз отличаются времена $t_1$ и $t_2$, вычислив их отношение. Поскольку $v < c$, то $1 - v^2/c^2 < \sqrt{1 - v^2/c^2}$, и, следовательно, $t_1 > t_2$. Найдем отношение большего времени к меньшему:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{2L}{c} \cdot \frac{1}{1-v^2/c^2}}{\frac{2L}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}} = \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v^2/c^2} = \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{(\sqrt{1-v^2/c^2})^2} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.
Таким образом, доказано, что время распространения по двум направлениям отличается в $\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ раз.

Ответ: Отношение времени прохождения луча в продольном плече ($t_1$) ко времени прохождения в поперечном плече ($t_2$) равно $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, что и требовалось доказать.