Задание 3, страница 160 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Докажите, что формулы, полученные Лоренцем, удовлетворяют принципу соответствия. При малых значениях скорости подвижной системы отсчета $v \ll c$ из (2) и (3) получим формулы преобразования Галилея:

$x_1 = x_2 + vT$

или $x_2 = x_1 - vT;$ (4)

$T_1 = T_2.$ (5)

Дано:

Принцип соответствия утверждает, что любая новая, более общая физическая теория при переходе к предельным условиям, в которых была верна старая теория, должна давать те же результаты, что и старая. В данном случае специальная теория относительности (СТО) должна сводиться к классической механике при скоростях, много меньших скорости света ($v \ll c$).

Преобразования Лоренца для двух инерциальных систем отсчета: неподвижной K (с координатами события $x_1$, $T_1$) и движущейся K' (с координатами $x_2$, $T_2$), которая перемещается со скоростью $\text{v}$ вдоль оси X относительно системы K:

$x_2 = \frac{x_1 - vT_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

$T_2 = \frac{T_1 - \frac{v}{c^2}x_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Условие, при котором должен осуществляться переход: скорость подвижной системы отсчета много меньше скорости света, $v \ll c$.

Найти:

Доказать, что при условии $v \ll c$ преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

$x_2 = x_1 - vT_1$

$T_1 = T_2$

Решение:

Рассмотрим преобразования Лоренца в предельном случае, когда скорость движения системы K' $\text{v}$ намного меньше скорости света в вакууме $\text{c}$. Это означает, что отношение $\frac{v}{c}$ является безразмерной малой величиной.

$\frac{v}{c} \to 0$

Следовательно, квадрат этого отношения $\frac{v^2}{c^2}$ будет пренебрежимо малой величиной по сравнению с единицей:

$\frac{v^2}{c^2} \to 0$

Проанализируем знаменатель в формулах Лоренца:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \approx \sqrt{1 - 0} = 1$

При малых скоростях знаменатель в обеих формулах преобразований Лоренца стремится к единице.

Теперь рассмотрим числитель в формуле преобразования времени. В нем содержится слагаемое $\frac{v}{c^2}x_1$. В условиях нерелятивистского движения, когда скорости малы, это слагаемое также стремится к нулю, так как является произведением малой величины $\frac{v}{c}$ и отношения $\frac{x_1}{c}$, которое для обычных расстояний и времен также мало.

$\frac{v}{c^2}x_1 \to 0$

Теперь подставим полученные приближенные значения в исходные формулы преобразований Лоренца.

Для пространственной координаты $x_2$ получаем:

$x_2 = \frac{x_1 - vT_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx \frac{x_1 - vT_1}{1} = x_1 - vT_1$

Для временной координаты $T_2$ получаем:

$T_2 = \frac{T_1 - \frac{v}{c^2}x_1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx \frac{T_1 - 0}{1} = T_1$

Полученные формулы $x_2 = x_1 - vT_1$ и $T_2 = T_1$ (что эквивалентно $T_1 = T_2$) в точности совпадают с преобразованиями Галилея, приведенными в условии задачи. Это доказывает, что преобразования Лоренца удовлетворяют принципу соответствия, так как в пределе малых скоростей они переходят в классические преобразования Галилея.

Ответ:

При условии $v \ll c$ величиной $\frac{v^2}{c^2}$ можно пренебречь по сравнению с 1, поэтому знаменатель $\sqrt{1 - v^2/c^2} \approx 1$. Также при малых скоростях слагаемое $\frac{v}{c^2}x_1$ в числителе преобразования времени стремится к нулю. В результате подстановки этих приближений в преобразования Лоренца получаются преобразования Галилея: $x_2 \approx x_1 - vT_1$ и $T_2 \approx T_1$. Это подтверждает выполнение принципа соответствия.