Задание 5, страница 161 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 5

1. Получите соотношения времен (6), длин (7) и формулы сложения скоростей для релятивистских эффектов с использованием преобразований Лоренца (2) и (3).

2. Докажите, что формулы релятивистской теории относительности удовлетворяют принципу соответствия, при малых значениях скорости тела и скорости подвижной системы отсчета формулы (6), (7), (8), примут вид: $I = I_0$; $T = T_0$; $\vec{v}_1 = \vec{v} + \vec{v}_2$.

1. Получите соотношения времен (6), длин (7) и формулы сложения скоростей для релятивистских эффектов с использованием преобразований Лоренца (2) и (3).

Дано:

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО): неподвижную $\text{S}$ с координатами $(x, y, z, t)$ и движущуюся $S'$ с координатами $(x', y', z', t')$. Система $S'$ движется относительно $\text{S}$ с постоянной скоростью $\text{v}$ вдоль оси $\text{x}$. В момент времени $t = t' = 0$ начала координат систем совпадают. Преобразования Лоренца, связывающие координаты и время событий в этих системах, имеют вид:

Прямые преобразования (из $\text{S}$ в $S'$):

$x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, $y' = y$, $z' = z$, $t' = \frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Обратные преобразования (из $S'$ в $\text{S}$):

$x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$, $y = y'$, $z = z'$, $t = \frac{t' + \frac{vx'}{c^2}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

где $\text{c}$ - скорость света в вакууме. Для краткости введем фактор Лоренца $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Найти:

1. Соотношение для времен (эффект замедления времени).

2. Соотношение для длин (эффект сокращения длины).

3. Релятивистскую формулу сложения скоростей.

Решение:

Вывод соотношения для времен (замедление времени)

Пусть в движущейся системе $S'$ находятся часы, расположенные в точке с постоянной координатой $x'$. Эти часы отсчитывают два последовательных момента времени $t'_1$ и $t'_2$. Промежуток времени, измеренный по часам, которые покоятся в данной ИСО, называется собственным временем $T_0$. В данном случае $T_0 = t'_2 - t'_1$. Два события (тики часов) в системе $S'$ происходят в одной и той же точке, поэтому $x'_1 = x'_2$, следовательно $\Delta x' = 0$.

Найдем промежуток времени $\text{T}$ между этими же событиями, измеренный наблюдателем в системе $\text{S}$. Для этого воспользуемся обратным преобразованием Лоренца для времени: $t = \gamma(t' + \frac{vx'}{c^2})$.

$t_1 = \gamma(t'_1 + \frac{vx'}{c^2})$

$t_2 = \gamma(t'_2 + \frac{vx'}{c^2})$

Промежуток времени $\text{T}$ в системе $\text{S}$ равен:

$T = t_2 - t_1 = \gamma(t'_2 + \frac{vx'}{c^2}) - \gamma(t'_1 + \frac{vx'}{c^2}) = \gamma(t'_2 - t'_1) = \gamma T_0$

Таким образом, мы получили формулу замедления времени:

$T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Так как $\gamma \ge 1$, то $T \ge T_0$, то есть для наблюдателя в системе $\text{S}$ время в движущейся системе $S'$ течет медленнее.

Вывод соотношения для длин (сокращение длины)

Рассмотрим стержень, покоящийся в движущейся системе $S'$ и расположенный вдоль оси $x'$. Его длина, измеренная в этой системе, является собственной длиной $l_0$. Пусть концы стержня имеют координаты $x'_1$ и $x'_2$. Тогда $l_0 = x'_2 - x'_1$.

Чтобы измерить длину $\text{l}$ этого стержня в системе $\text{S}$, наблюдатель должен зафиксировать координаты его концов $x_1$ и $x_2$ одновременно, то есть в один и тот же момент времени $t_1 = t_2 = t$. Тогда искомая длина $l = x_2 - x_1$.

Воспользуемся прямым преобразованием Лоренца для координаты $x': x' = \gamma(x - vt)$.

$x'_1 = \gamma(x_1 - vt_1)$

$x'_2 = \gamma(x_2 - vt_2)$

Вычтем одно уравнение из другого, учитывая, что $t_1 = t_2$:

$x'_2 - x'_1 = \gamma(x_2 - vt_2) - \gamma(x_1 - vt_1) = \gamma(x_2 - x_1)$

Подставив $l_0 = x'_2 - x'_1$ и $l = x_2 - x_1$, получим $l_0 = \gamma l$.

Отсюда выражаем длину $\text{l}$ в системе $\text{S}$:

$l = \frac{l_0}{\gamma} = l_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}$

Так как $\gamma \ge 1$, то $l \le l_0$, то есть длина стержня в системе отсчета, относительно которой он движется, оказывается меньше его собственной длины.

Вывод формулы сложения скоростей

Пусть тело движется вдоль оси $x'$ в системе $S'$ со скоростью $v_2$. Система $S'$ в свою очередь движется относительно системы $\text{S}$ со скоростью $\text{v}$. Найдем скорость тела $v_1$ в системе $\text{S}$. По определению, $v_1 = \frac{dx}{dt}$ и $v_2 = \frac{dx'}{dt'}$.

Воспользуемся дифференциальной формой обратных преобразований Лоренца:

$dx = \gamma(dx' + v dt')$

$dt = \gamma(dt' + \frac{v dx'}{c^2})$

Разделим $\text{dx}$ на $\text{dt}$:

$v_1 = \frac{dx}{dt} = \frac{\gamma(dx' + v dt')}{\gamma(dt' + \frac{v dx'}{c^2})} = \frac{dx' + v dt'}{dt' + \frac{v dx'}{c^2}}$

Теперь разделим числитель и знаменатель на $dt'$:

$v_1 = \frac{\frac{dx'}{dt'} + v}{1 + \frac{v}{c^2}\frac{dx'}{dt'}}$

Подставив $v_2 = \frac{dx'}{dt'}$, получаем релятивистский закон сложения скоростей:

$v_1 = \frac{v_2 + v}{1 + \frac{v v_2}{c^2}}$

Ответ:

Используя преобразования Лоренца, получены следующие соотношения для релятивистских эффектов:

1. Соотношение времен (формула замедления времени): $T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

2. Соотношение длин (формула лоренцева сокращения): $l = l_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}$

3. Релятивистская формула сложения скоростей: $v_1 = \frac{v + v_2}{1 + \frac{v v_2}{c^2}}$

2. Докажите, что формулы релятивистской теории относительности удовлетворяют принципу соответствия, при малых значениях скорости тела и скорости подвижной системы отсчета формулы (6), (7), (8), примут вид: $l=l_0; T=T_0; \vec{v_1}=\vec{v}+\vec{v_2}$.

Решение:

Принцип соответствия утверждает, что любая новая физическая теория, претендующая на большую общность, чем старая, должна включать в себя старую теорию как предельный случай. В данном контексте, формулы специальной теории относительности (СТО) должны переходить в формулы классической механики при скоростях, много меньших скорости света ($v \ll c$). Математически это означает, что мы рассматриваем предел при $\frac{v}{c} \rightarrow 0$.

Анализ формулы замедления времени (6)

Релятивистская формула: $T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

При $v \ll c$, отношение $(\frac{v}{c})^2$ становится очень малым, и им можно пренебречь:

$(\frac{v}{c})^2 \rightarrow 0$

Тогда знаменатель: $\sqrt{1 - v^2/c^2} \rightarrow \sqrt{1 - 0} = 1$.

В результате получаем: $T \rightarrow \frac{T_0}{1} = T_0$.

Это соответствует классическому представлению об абсолютном времени, одинаковом во всех инерциальных системах отсчета.

Анализ формулы сокращения длины (7)

Релятивистская формула: $l = l_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}$

Аналогично, при $v \ll c$, величина под корнем стремится к единице:

$\sqrt{1 - v^2/c^2} \rightarrow \sqrt{1 - 0} = 1$.

В результате получаем: $l \rightarrow l_0 \cdot 1 = l_0$.

Это соответствует классическому представлению об абсолютности длины, которая не зависит от движения системы отсчета.

Анализ формулы сложения скоростей (8)

Релятивистская формула (для сонаправленных скоростей): $v_1 = \frac{v + v_2}{1 + \frac{v v_2}{c^2}}$

При малых скоростях, когда $v \ll c$ и $v_2 \ll c$, произведение $v \cdot v_2$ будет много меньше, чем $c^2$. Поэтому член в знаменателе $\frac{v v_2}{c^2}$ становится пренебрежимо малым по сравнению с единицей:

$\frac{v v_2}{c^2} \rightarrow 0$

Тогда знаменатель: $1 + \frac{v v_2}{c^2} \rightarrow 1 + 0 = 1$.

В результате формула сложения скоростей принимает вид:

$v_1 \rightarrow \frac{v + v_2}{1} = v + v_2$.

Это в точности классический закон сложения скоростей Галилея для одномерного случая. В общем векторном виде он записывается как $\vec{v_1} = \vec{v} + \vec{v_2}$.

Ответ:

Мы показали, что при малых скоростях движения ($v \ll c$) релятивистские формулы для времени, длины и сложения скоростей переходят в свои классические аналоги: $T \rightarrow T_0$, $l \rightarrow l_0$ и $v_1 \rightarrow v + v_2$. Таким образом, формулы релятивистской теории относительности удовлетворяют принципу соответствия, переходя в формулы классической механики в пределе малых скоростей.