Задание 2, страница 154 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. Докажите, что луч AB, падающий на прозрачную плоскопараллельную пластину, и, дважды преломившись на границе сред, не меняет направление своего распространения: $\alpha_1 = \gamma_2$ (рис. 187).

2. Докажите, что при увеличении толщины пластины смещение луча x возрастает: $x = \frac{d \sin(\alpha_1 - \gamma_1)}{\cos \gamma_1}$

Рекомендации:

1. Запишите закон преломления для каждой границы.

2. Рассмотрите прямоугольные треугольники $\Delta BKC$ и $\Delta BCM$. Выразите гипотенузу BC через толщину пластины и смещение луча.

3. Выразите смещение луча x через толщину пластины.

4. Приведите примеры использования смещения луча на плоскопараллельной пластине. Предложите практическое применение смещения луча.

Рис. 187. Ход лучей в плоскопараллельной пластине

1. Доказательство того, что луч, прошедший через плоскопараллельную пластину, не меняет своего направления распространения, то есть `$\alpha_1 = \gamma_2$`.

Решение:

Рассмотрим преломление света на двух границах раздела сред. Первая граница — в точке B, где луч входит из среды с показателем преломления `$n_1$` в пластину с показателем преломления `$n_2$`. Вторая граница — в точке C, где луч выходит из пластины обратно в среду с показателем `$n_1$`.
Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):
1. На первой границе (в точке B):
`$n_1 \sin(\alpha_1) = n_2 \sin(\gamma_1)$` (1)
где `$\alpha_1$` — угол падения, `$\gamma_1$` — угол преломления.
2. На второй границе (в точке C):
`$n_2 \sin(\alpha_2) = n_1 \sin(\gamma_2)$` (2)
где `$\alpha_2$` — угол падения на вторую границу, `$\gamma_2$` — угол преломления при выходе из пластины.
Поскольку пластина плоскопараллельная, её грани параллельны друг другу. Нормали к поверхностям в точках B и C также параллельны. Луч BC является секущей для этих двух параллельных нормалей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: `$\gamma_1 = \alpha_2$`.
Подставим это равенство в уравнение (2):
`$n_2 \sin(\gamma_1) = n_1 \sin(\gamma_2)$` (3)
Теперь сравним уравнения (1) и (3). Левые части этих уравнений одинаковы, следовательно, должны быть равны и правые части:
`$n_1 \sin(\alpha_1) = n_1 \sin(\gamma_2)$`
Поскольку `$n_1 \neq 0$`, мы можем сократить его:
`$\sin(\alpha_1) = \sin(\gamma_2)$`
Так как углы падения и преломления находятся в диапазоне от 0° до 90°, из равенства их синусов следует равенство самих углов:
`$\alpha_1 = \gamma_2$`
Это означает, что выходящий из пластины луч параллелен падающему лучу, то есть направление распространения луча не изменилось.

Ответ: Угол падения луча на пластину `$\alpha_1$` равен углу выхода луча из пластины `$\gamma_2$`, что доказывает параллельность падающего и вышедшего лучей.

2. Доказательство формулы для смещения луча `$x = \frac{d \sin(\alpha_1 - \gamma_1)}{\cos \gamma_1}$` и зависимости смещения от толщины пластины `$\text{d}$`.

Решение:

Смещение луча `$\text{x}$` — это перпендикулярное расстояние между продолжением падающего луча и вышедшим лучом. На рисунке это отрезок CM.
Рассмотрим прямоугольный треугольник `$\Delta BKC$`. В нём катет BK равен толщине пластины `$\text{d}$`, а угол `$\angle BCK = \gamma_1$`. Гипотенуза BC — это путь, который луч прошел внутри пластины. Выразим гипотенузу BC через толщину `$\text{d}$` и угол `$\gamma_1$`: `$\cos(\gamma_1) = \frac{BK}{BC} = \frac{d}{BC}$`
Отсюда `$BC = \frac{d}{\cos(\gamma_1)}$`.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник `$\Delta BCM$`. Катет CM — это искомое смещение `$\text{x}$`. Угол `$\angle MBC$` найдём из геометрии в точке B. Угол между продолжением луча AB и нормалью равен `$\alpha_1$`. Угол между преломленным лучом BC и нормалью равен `$\gamma_1$`. Следовательно, угол между продолжением падающего луча и преломленным лучом равен их разности: `$\angle MBC = \alpha_1 - \gamma_1$`.
Из треугольника `$\Delta BCM$` имеем:
`$\sin(\angle MBC) = \frac{CM}{BC} = \frac{x}{BC}$`
Отсюда `$x = BC \cdot \sin(\angle MBC) = BC \cdot \sin(\alpha_1 - \gamma_1)$`.
Подставим ранее найденное выражение для BC:
`$x = \frac{d}{\cos(\gamma_1)} \cdot \sin(\alpha_1 - \gamma_1) = \frac{d \sin(\alpha_1 - \gamma_1)}{\cos \gamma_1}$`
Формула доказана.
Теперь проанализируем зависимость `$\text{x}$` от `$\text{d}$`. В полученной формуле для фиксированного угла падения `$\alpha_1$` и заданных показателей преломления `$n_1$` и `$n_2$` угол `$\gamma_1$` также является постоянной величиной (согласно закону Снеллиуса). Это означает, что весь множитель `$\frac{\sin(\alpha_1 - \gamma_1)}{\cos \gamma_1}$` является константой.
Таким образом, смещение луча `$\text{x}$` прямо пропорционально толщине пластины `$\text{d}$`. При увеличении `$\text{d}$` смещение `$\text{x}$` будет линейно возрастать.

Ответ: Формула `$x = \frac{d \sin(\alpha_1 - \gamma_1)}{\cos \gamma_1}$` доказана. Из этой формулы следует, что смещение луча `$\text{x}$` прямо пропорционально толщине пластины `$\text{d}$`, поэтому при увеличении толщины смещение возрастает.

4. Примеры использования и практическое применение смещения луча в плоскопараллельной пластине.
Эффект смещения светового луча плоскопараллельной пластиной, не меняя его направления, находит широкое применение в оптических приборах и технологиях. Величина смещения зависит от толщины пластины, её показателя преломления и угла падения луча, что позволяет управлять положением луча.
Основные примеры практического применения включают: 1. Оптические микрометры и сканеры: Вращая плоскопараллельную пластину, можно изменять угол падения `$\alpha_1$`, что приводит к изменению бокового смещения `$\text{x}$`. Это позволяет очень точно и плавно смещать лазерный луч или линию визирования. Такие устройства используются для точных измерений, центрирования и сканирования.
2. Компенсационные пластины в интерферометрах: В таких приборах, как интерферометр Майкельсона или Маха-Цендера, используется светоделительная пластина, которая вносит смещение и дополнительный оптический путь для прошедшего луча. Чтобы скомпенсировать эту разницу, в другой пучок света ставят точно такую же пластину (компенсатор), но без отражающего покрытия. Это выравнивает оптические пути и устраняет хроматические аберрации, вызванные дисперсией в стекле.
3. Перископы и эндоскопы: Хотя простые перископы используют зеркала, смещение луча с помощью толстых стеклянных блоков или призм является альтернативным методом для смещения изображения без его переворота.
4. Устройства ввода-вывода излучения в оптические волокна: Тонкая настройка положения луча с помощью вращающейся пластины может использоваться для его точного ввода в торец оптического волокна.
5. Фотография и астрономия: В некоторых гидирующих системах телескопов используется вращающаяся плоскопараллельная пластина для внесения малых коррекций в положение гидирующей звезды, удерживая телескоп точно наведенным на объект съемки.

Ответ: Смещение луча в плоскопараллельной пластине используется для точного управления положением светового пучка в оптических микрометрах, для компенсации оптического пути в интерферометрах, для создания перископических систем и для прецизионной юстировки в различных оптических установках.