Задание 1, страница 158 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

Запишите формулы сложения скоростей и перемещений и формулы преобразования Галилея для координат тела и времени.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО): K — неподвижную, и K' — подвижную, которая движется относительно K с постоянной скоростью $ \vec{V} $. Будем считать, что в начальный момент времени $ t = t' = 0 $ их начала координат совпадают, а соответствующие оси ($\text{x}$ и $x'$, $\text{y}$ и $y'$, $\text{z}$ и $z'$) параллельны. Пусть движение системы K' происходит вдоль оси $\text{x}$ системы K, тогда $ \vec{V} = (V, 0, 0) $.

Формулы преобразования Галилея для координат тела и времени

Преобразования Галилея устанавливают связь между координатами и временем одного и того же события, наблюдаемого из двух разных инерциальных систем отсчета.

Для координат материальной точки в системе K' ($x'$, $y'$, $z'$) и системе K ($\text{x}$, $\text{y}$, $\text{z}$) в момент времени $\text{t}$ справедливы следующие соотношения:
$ x' = x - Vt $
$ y' = y $
$ z' = z $
В более общем, векторном виде, для произвольного направления скорости $ \vec{V} $, это можно записать как:
$ \vec{r}' = \vec{r} - \vec{V}t $
Здесь $ \vec{r} $ и $ \vec{r}' $ — радиус-векторы точки в системах K и K' соответственно.

В классической (ньютоновской) механике время считается абсолютным, то есть оно течет одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому преобразование для времени имеет простой вид:
$ t' = t $

Ответ: Формулы преобразования Галилея для координат и времени: $ x' = x - Vt, y' = y, z' = z $ и $ t' = t $. В векторной форме: $ \vec{r}' = \vec{r} - \vec{V}t $ и $ t' = t $.

Формулы сложения скоростей и перемещений

Эти формулы являются прямым следствием преобразований Галилея и описывают, как связаны скорости и перемещения тела, измеренные в разных ИСО.

Формула сложения скоростей (также известная как классический закон сложения скоростей) связывает скорость тела $ \vec{v} $ в неподвижной системе K со скоростью этого же тела $ \vec{v}' $ в подвижной системе K' и скоростью $ \vec{V} $ самой подвижной системы K' относительно неподвижной K. Эта формула получается дифференцированием по времени векторной формулы преобразования координат $ \vec{r} = \vec{r}' + \vec{V}t $:
$ \vec{v} = \vec{v}' + \vec{V} $
Здесь $ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} $ и $ \vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt'} $.

Формула сложения перемещений связывает перемещение тела $ \vec{s} $ в системе K за промежуток времени $ \Delta t $ с его перемещением $ \vec{s}' $ в системе K' и перемещением самой системы K' ($ \vec{V}\Delta t $) за то же время:
$ \vec{s} = \vec{s}' + \vec{V}\Delta t $
Эта формула получается из рассмотрения разности положений тела в два момента времени: $ \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (\vec{r}'_2 + \vec{V}t_2) - (\vec{r}'_1 + \vec{V}t_1) = (\vec{r}'_2 - \vec{r}'_1) + \vec{V}(t_2 - t_1) $.

Ответ: Формула сложения скоростей: $ \vec{v} = \vec{v}' + \vec{V} $. Формула сложения перемещений: $ \vec{s} = \vec{s}' + \vec{V}\Delta t $.