Задание 1, страница 153 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

1. Рассмотрите рисунок 186. Объясните ход изображенных на рисунке лучей.

2. Выясните, во сколько раз отличается истинная глубина $\text{H}$ от кажущейся глубины $\text{h}$ водоема.

Рекомендации:

1. Рассмотрите полученные в результате построения треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle DCB$.

2. Выразите общую сторону треугольников $\text{CB}$ через катеты $\text{H}$ и $\text{h}$.

3. Приравняйте правые части полученных уравнений, запишите соотношение глубин: $\frac{h}{H}$.

4. Полагая, что наблюдение дна водоема происходит под малым углом преломления, докажите, что $\frac{h}{H} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}$.

Рис. 186. Кажущаяся глубина водоема

1. Рассмотрите рисунок 186. Объясните ход изображенных на рисунке лучей.

На рисунке 186 показан ход светового луча, идущего от точки $\text{A}$ на дне водоема. Луч $\text{AB}$ распространяется в воде (оптически более плотная среда с показателем преломления $n_1$) и падает на границу раздела двух сред «вода-воздух» в точке $\text{B}$. Угол падения луча равен $\alpha$.

При переходе из воды в воздух (оптически менее плотную среду с показателем преломления $n_2$, где $n_1 > n_2$) луч преломляется, отклоняясь от перпендикуляра, восстановленного в точке падения. Угол преломления $\gamma$ становится больше угла падения $\alpha$, что соответствует закону преломления света. Наблюдателю, находящемуся в воздухе, кажется, что преломленный луч исходит из точки $\text{D}$. Эта точка является мнимым изображением точки $\text{A}$ и расположена на меньшей глубине $\text{h}$ (кажущаяся глубина) по сравнению с истинной глубиной $\text{H}$. Таким образом, из-за преломления света на границе вода-воздух, глубина водоема кажется меньше, чем она есть на самом деле.

Ответ: Световой луч от дна водоема при выходе из воды в воздух преломляется, удаляясь от нормали к поверхности. В результате наблюдатель видит мнимое изображение дна на меньшей глубине, чем истинная.

2. Выясните, во сколько раз отличается истинная глубина H от кажущейся глубины h водоема.

Дано:

Истинная глубина водоема: $\text{H}$
Кажущаяся глубина водоема: $\text{h}$
Показатель преломления воды: $n_1$
Показатель преломления воздуха: $n_2$
Угол падения луча в воде: $\alpha$
Угол преломления луча в воздухе: $\gamma$

Найти:

Соотношение $\frac{H}{h}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся рекомендациями, приведенными в условии.

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые видны на рисунке: $\Delta ACB$ и $\Delta DCB$.

2. Выразим их общий катет $\text{CB}$. В прямоугольном треугольнике $\Delta ACB$: катет $AC=H$, а угол, противолежащий катету $\text{CB}$, равен $\alpha$. Таким образом, $tan\,\alpha = \frac{CB}{AC} = \frac{CB}{H}$. Отсюда получаем: $CB = H \cdot tan\,\alpha$. В прямоугольном треугольнике $\Delta DCB$: катет $DC=h$. Угол при вершине $\text{D}$ равен углу преломления $\gamma$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $\text{AD}$ и нормали в точке $\text{B}$, и секущей $\text{DB}$). Тогда $tan\,\gamma = \frac{CB}{DC} = \frac{CB}{h}$. Отсюда получаем: $CB = h \cdot tan\,\gamma$.

3. Приравняем правые части полученных выражений для $\text{CB}$: $H \cdot tan\,\alpha = h \cdot tan\,\gamma$ Из этого равенства выразим соотношение кажущейся и истинной глубин: $\frac{h}{H} = \frac{tan\,\alpha}{tan\,\gamma}$

4. Как правило, наблюдение дна происходит при взгляде, близком к вертикальному. Это означает, что углы падения $\alpha$ и преломления $\gamma$ малы. Для малых углов, выраженных в радианах, справедливы приближенные равенства $tan\,\alpha \approx sin\,\alpha$ и $tan\,\gamma \approx sin\,\gamma$. С учетом этого приближения, соотношение глубин можно записать как: $\frac{h}{H} \approx \frac{sin\,\alpha}{sin\,\gamma}$ Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса): $n_1 \cdot sin\,\alpha = n_2 \cdot sin\,\gamma$ Из этого закона выразим отношение синусов: $\frac{sin\,\alpha}{sin\,\gamma} = \frac{n_2}{n_1}$ Отношение $\frac{n_2}{n_1}$ является относительным показателем преломления второй среды (воздуха) относительно первой (воды) и обозначается как $n_{21}$. Сопоставляя выражения, получаем: $\frac{h}{H} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}$ Нас интересует, во сколько раз истинная глубина $\text{H}$ отличается от кажущейся $\text{h}$, то есть отношение $\frac{H}{h}$: $\frac{H}{h} = \frac{n_1}{n_2}$ Так как показатель преломления воды $n_1 \approx 1,33$, а воздуха $n_2 \approx 1$, то $\frac{H}{h} \approx 1,33$. Это означает, что истинная глубина примерно в 1,33 раза больше кажущейся.

Ответ: Истинная глубина $\text{H}$ больше кажущейся глубины $\text{h}$ в $\frac{n_1}{n_2}$ раз. Отношение глубин равно отношению показателей преломления сред: $\frac{H}{h} = \frac{n_1}{n_2}$.