Физика в нашей жизни, страница 220 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Солнечная энергия

Солнечные батареи с КПД $20\%$ были закреплены под углом $60^{\circ}$ к горизонту, при этом плоскость панелей была обращена строго на юг.

Определите количество электроэнергии, выработанной $1 \text{ м}^2$ панели за $\text{1}$ час $\text{22}$ июня в полдень на широте вашей местности. Будет ли достаточным для ваших потребностей энергия, поступающая от панели площадью $4 \text{ м}^2$? При расчетах используйте среднемесячный расход энергии вашей семьи в летний период.

Выполняя расчеты, определите:

1. Энергетическую светимость Солнца, учитывая, что максимум спектральной плотности энергетической светимости излучения Солнца соответствует длине волны $500 \text{ нм}$.

2. Поток энергии, излучаемый Солнцем. Радиус Солнца $6.95 \cdot 10^8 \text{ м}$.

3. Поток солнечной энергии, поглощенной $1 \text{ м}^2$ площади, перпендикулярной к солнечным лучам, расположенной на поверхности Земли. Расстояние от Солнца до Земли примите равным $1.5 \text{ млн км}$, коэффициент отражения равным $\text{0}$.

4. Поток солнечной энергии, поглощенной поверхностью солнечной батареи и полученную электроэнергию с учетом КПД панели.

5. Сравните с потребностью электроэнергии вашей семьи в летний период.

6. Во сколько раз изменится количество полученной энергии $\text{22}$ декабря при тех же условиях?

7. Подумайте, как можно, не увеличивая площадь панели, улучшить эффективность ее работы.

Дано:

Коэффициент полезного действия (КПД) панелей, $\eta = 20 \% = 0.2$
Угол наклона панелей к горизонту, $\beta = 60^\circ$
Дата, 22 июня (день летнего солнцестояния)
Время, полдень
Площадь панели для расчета, $S_1 = 1 \, \text{м}^2$
Общая площадь панелей, $S_{общ} = 4 \, \text{м}^2$
Время работы, $t = 1 \, \text{час} = 3600 \, \text{с}$
Длина волны максимума излучения Солнца, $\lambda_{max} = 500 \, \text{нм} = 500 \cdot 10^{-9} \, \text{м}$
Радиус Солнца, $R_С = 6.95 \cdot 10^8 \, \text{м}$
Расстояние от Солнца до Земли, $R_{орб} = 1.5 \cdot 10^8 \, \text{км} = 1.5 \cdot 10^{11} \, \text{м}$ (Примечание: в условии указано "1,5 млн км", что является опечаткой. Используется стандартное среднее расстояние в 150 млн км)
Коэффициент отражения от поверхности Земли, $\rho = 0$
Постоянная в законе смещения Вина, $b = 2.898 \cdot 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}$
Постоянная Стефана-Больцмана, $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$
Широта местности, $\phi \approx 56^\circ$ с.ш. (для примера взята широта Москвы)
Наклон земной оси, $\delta_{лето} = 23.45^\circ$ (для 22 июня)
Среднемесячное потребление энергии семьей, $W_{семьи} \approx 250 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$ (принято как среднее значение для летнего периода)

Найти:

1. Энергетическую светимость Солнца ($R_e$).
2. Поток энергии, излучаемый Солнцем ($\Phi_С$).
3. Поток солнечной энергии, поглощенной 1 м² на Земле ($E_0$).
4. Поток энергии, поглощенной панелью ($E_{пан}$), и выработанную электроэнергию ($W_{эл}$).
5. Сравнить выработку с потреблением.
6. Во сколько раз изменится выработка 22 декабря.
7. Способы улучшения эффективности.

Решение:

1. Энергетическую светимость Солнца, учитывая, что максимум спектральной плотности энергетической светимости излучения Солнца соответствует длине волны 500 нм.

Сначала определим температуру поверхности Солнца, используя закон смещения Вина: $ \lambda_{max} \cdot T = b $ Отсюда температура $\text{T}$: $ T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.898 \cdot 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К}}{500 \cdot 10^{-9} \, \text{м}} \approx 5796 \, \text{К} $ Теперь, используя закон Стефана-Больцмана, найдем энергетическую светимость (мощность излучения с единицы площади поверхности): $ R_e = \sigma T^4 = 5.67 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \cdot (5796 \, \text{К})^4 \approx 6.4 \cdot 10^7 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} $

Ответ: Энергетическая светимость Солнца составляет примерно $6.4 \cdot 10^7 \, \text{Вт/м}^2$.

2. Поток энергии, излучаемый Солнцем. Радиус Солнца 6,95 · 10⁸ м.

Полный поток энергии (светимость) Солнца — это энергетическая светимость, умноженная на площадь поверхности Солнца. Площадь поверхности Солнца (сферы): $ S_С = 4\pi R_С^2 = 4\pi (6.95 \cdot 10^8 \, \text{м})^2 \approx 6.07 \cdot 10^{18} \, \text{м}^2 $ Полный поток энергии: $ \Phi_С = R_e \cdot S_С = (6.4 \cdot 10^7 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}) \cdot (6.07 \cdot 10^{18} \, \text{м}^2) \approx 3.88 \cdot 10^{26} \, \text{Вт} $

Ответ: Поток энергии, излучаемый Солнцем, составляет примерно $3.88 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}$.

3. Поток солнечной энергии, поглощенной 1 м² площади, перпендикулярной к солнечным лучам, расположенной на поверхности Земли. Расстояние от Солнца до Земли примите равным 1,5 млн км, коэффициент отражения равным 0.

Этот поток (солнечная постоянная) — это полный поток энергии Солнца, распределенный по сфере с радиусом, равным расстоянию от Солнца до Земли. Площадь этой сферы: $ S_{орб} = 4\pi R_{орб}^2 = 4\pi (1.5 \cdot 10^{11} \, \text{м})^2 \approx 2.83 \cdot 10^{23} \, \text{м}^2 $ Поток энергии на орбите Земли: $ E_0 = \frac{\Phi_С}{S_{орб}} = \frac{3.88 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}}{2.83 \cdot 10^{23} \, \text{м}^2} \approx 1371 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} $ Поскольку коэффициент отражения равен 0, вся падающая энергия поглощается. Это значение не учитывает поглощение в атмосфере, но для данной задачи принимается как поток на поверхности.

Ответ: Поток солнечной энергии, поглощенной 1 м², составляет примерно $1371 \, \text{Вт/м}^2$.

4. Поток солнечной энергии, поглощенной поверхностью солнечной батареи и полученную электроэнергию с учетом КПД панели.

Сначала найдем угол падения солнечных лучей на панель. Для этого определим высоту Солнца над горизонтом в полдень 22 июня на широте $\phi = 56^\circ$. Высота Солнца: $h = 90^\circ - \phi + \delta_{лето} = 90^\circ - 56^\circ + 23.45^\circ = 57.45^\circ$ Панель наклонена к горизонту под углом $\beta = 60^\circ$ и обращена на юг. Угол падения лучей $\theta$ — это угол между нормалью к панели и направлением на Солнце. $ \theta = |(90^\circ - h) - \beta| = |(90^\circ - 57.45^\circ) - 60^\circ| = |32.55^\circ - 60^\circ| = 27.45^\circ $ Поток энергии, падающий на 1 м² панели: $ E_{пад} = E_0 \cdot \cos\theta = 1371 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} \cdot \cos(27.45^\circ) \approx 1371 \cdot 0.887 = 1216 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} $ По условию, мы считаем, что вся эта энергия поглощается. Мощность вырабатываемой электроэнергии с 1 м² с учетом КПД: $ P_{эл} = E_{пад} \cdot \eta = 1216 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} \cdot 0.2 = 243.2 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2} $ Количество электроэнергии, выработанной 1 м² панели за 1 час: $ W_{эл} = P_{эл} \cdot t = 243.2 \, \text{Вт} \cdot 3600 \, \text{с} = 875520 \, \text{Дж} \approx 0.88 \, \text{МДж} $ Или в киловатт-часах: $W_{эл} = 0.2432 \, \text{кВт} \cdot 1 \, \text{ч} = 0.2432 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$.

Ответ: Поток энергии, поглощенной поверхностью батареи, составляет $1216 \, \text{Вт/м}^2$. За 1 час панель площадью 1 м² вырабатывает $0.2432 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$ электроэнергии.

5. Сравните с потребностью электроэнергии вашей семьи в летний период.

Примем среднемесячное потребление семьи равным $W_{семьи} = 250 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$. Рассчитаем месячную выработку энергии установкой площадью $S_{общ} = 4 \, \text{м}^2$. Расчет в п.4 был для идеальных условий (полдень, ясный день). Для оценки месячной выработки введем понятие "эквивалентных часов солнечного сияния". Для средней полосы России летом это примерно 4-5 часов в день. Возьмем 4.5 часа. Дневная выработка: $ W_{день} = P_{эл} \cdot S_{общ} \cdot t_{экв} = (243.2 \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}) \cdot (4 \, \text{м}^2) \cdot (4.5 \, \text{ч}) \approx 4378 \, \text{Вт} \cdot \text{ч} = 4.378 \, \text{кВт} \cdot \text{ч} $ Месячная выработка (примем в месяце 30 дней): $ W_{месяц} = W_{день} \cdot 30 = 4.378 \, \text{кВт} \cdot \text{ч} \cdot 30 \approx 131 \, \text{кВт} \cdot \text{ч} $ Сравним с потреблением: $131 \, \text{кВт} \cdot \text{ч} < 250 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$. Выработанной энергии недостаточно для полного покрытия потребностей семьи. Она составляет $ \frac{131}{250} \cdot 100\% \approx 52.4\% $ от месячного потребления.

Ответ: Энергии, вырабатываемой панелью площадью 4 м² ($ \approx 131 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$ в месяц), недостаточно для покрытия среднемесячных потребностей семьи ($250 \, \text{кВт} \cdot \text{ч}$).

6. Во сколько раз изменится количество полученной энергии 22 декабря при тех же условиях?

22 декабря — день зимнего солнцестояния. Наклон оси Земли $\delta_{зима} = -23.45^\circ$. Высота Солнца в полдень: $ h_{зима} = 90^\circ - \phi + \delta_{зима} = 90^\circ - 56^\circ - 23.45^\circ = 10.55^\circ $ Солнце очень низко над горизонтом. Новый угол падения на панель: $ \theta_{зима} = |(90^\circ - h_{зима}) - \beta| = |(90^\circ - 10.55^\circ) - 60^\circ| = |79.45^\circ - 60^\circ| = 19.45^\circ $ Отношение выработанной энергии будет равно отношению косинусов углов падения (так как все остальные параметры те же): $ \frac{W_{зима}}{W_{лето}} = \frac{E_0 \cdot \cos\theta_{зима} \cdot \eta \cdot t}{E_0 \cdot \cos\theta_{лето} \cdot \eta \cdot t} = \frac{\cos\theta_{зима}}{\cos\theta_{лето}} = \frac{\cos(19.45^\circ)}{\cos(27.45^\circ)} \approx \frac{0.943}{0.887} \approx 1.063 $ Неожиданно, но выработка в полдень зимой окажется немного больше. Это связано с тем, что угол наклона панели $60^\circ$ лучше подходит для низкого зимнего солнца, чем для высокого летнего. Летом оптимальный угол был бы $90-h = 32.55^\circ$.

Ответ: Количество полученной энергии в полдень 22 декабря увеличится примерно в 1.06 раза по сравнению с полуднем 22 июня из-за более оптимального угла падения лучей на панель, установленную под углом 60°.

7. Подумайте, как можно, не увеличивая площадь панели, улучшить эффективность ее работы.

Существует несколько способов повышения эффективности работы солнечной установки без увеличения ее площади:

• Использование системы слежения (солнечного трекера). Двухосевой трекер позволяет постоянно ориентировать панель перпендикулярно солнечным лучам ($\theta \approx 0, \cos\theta \approx 1$), что значительно (до 40-50% в год) увеличивает выработку по сравнению с фиксированной установкой.
• Оптимизация угла наклона. Если трекер не используется, можно сезонно менять угол наклона панели: делать его более пологим летом (когда солнце высоко) и более крутым зимой (когда солнце низко).
• Охлаждение панелей. Эффективность кремниевых фотоэлементов падает с ростом их температуры. Организация вентиляции под панелями или применение систем активного охлаждения (например, водяного) позволяет поддерживать более низкую рабочую температуру и, следовательно, более высокий КПД.
• Регулярная очистка. Пыль, грязь, снег, птичий помет на поверхности панелей блокируют часть солнечного света. Регулярная очистка поверхности позволяет поддерживать максимальное светопропускание защитного стекла.
• Использование MPPT-контроллера. Использование контроллера заряда с технологией Maximum Power Point Tracking (Отслеживание Точки Максимальной Мощности) позволяет постоянно поддерживать оптимальное соотношение тока и напряжения, снимаемого с панели, что максимизирует отдаваемую мощность в любых условиях освещенности.

Ответ: Основные способы: установка солнечного трекера, сезонное изменение угла наклона, обеспечение охлаждения, регулярная очистка поверхности и использование MPPT-контроллеров.