Номер 4, страница 229 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Что называют периодом полураспада? Как период полураспада связан с постоянной распада, средним значением времени жизни и активностью элемента?

Что называют периодом полураспада?

Период полураспада (обозначается $T_{1/2}$ или $\text{T}$) — это физическая величина, характеризующая скорость радиоактивного распада. Она представляет собой промежуток времени, в течение которого число радиоактивных ядер в образце уменьшается в два раза в результате распада. Это статистическая величина, применимая к большому ансамблю ядер, поскольку невозможно предсказать точный момент распада отдельного ядра. Процесс радиоактивного распада описывается экспоненциальным законом: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $N(t)$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $\text{t}$, $N_0$ — начальное число ядер, а $\lambda$ — постоянная распада. По определению, при $t = T_{1/2}$, количество оставшихся ядер будет равно $N(T_{1/2}) = N_0 / 2$.

Ответ: Период полураспада — это время, за которое распадается половина от начального количества радиоактивных ядер.

Как период полураспада связан с постоянной распада?

Постоянная распада ($\lambda$) — это вероятность распада одного ядра в единицу времени. Связь между периодом полураспада $T_{1/2}$ и постоянной распада $\lambda$ выводится из закона радиоактивного распада. Подставив условие для периода полураспада ($t = T_{1/2}$, $N(t) = N_0/2$) в закон распада, получаем: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$ Сократив $N_0$, имеем: $\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$ Чтобы найти $T_{1/2}$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\text{e}$ (натуральный логарифм): $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(e^{-\lambda T_{1/2}}\right)$ Используя свойства логарифмов ($\ln(1/x) = -\ln(x)$ и $\ln(e^y) = y$), получаем: $-\ln(2) = -\lambda T_{1/2}$ Отсюда выражаем период полураспада: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ Так как $\ln 2 \approx 0.693$, то $T_{1/2} \approx \frac{0.693}{\lambda}$. Эта формула показывает, что период полураспада и постоянная распада обратно пропорциональны: чем больше вероятность распада ядра в единицу времени, тем меньше время, за которое распадется половина всех ядер.

Ответ: Период полураспада $T_{1/2}$ обратно пропорционален постоянной распада $\lambda$ и связан с ней формулой $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

Как период полураспада связан со средним значением времени жизни?

Среднее время жизни ($\tau$) — это среднее арифметическое времени жизни всех ядер данного радиоактивного изотопа. Эта величина является обратной к постоянной распада: $\tau = \frac{1}{\lambda}$ Зная связь между периодом полураспада и постоянной распада ($T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$), мы можем установить связь между $T_{1/2}$ и $\tau$. Подставим выражение для $\lambda$ (т.е. $\lambda = 1/\tau$) в формулу для периода полураспада: $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{1/\tau} = \tau \ln 2$ Таким образом, период полураспада всегда меньше среднего времени жизни примерно на 30% ($T_{1/2} \approx 0.693\tau$). Это объясняется тем, что к моменту времени $T_{1/2}$ распадается только половина ядер, а оставшаяся половина продолжает существовать и распадаться, увеличивая среднее время жизни всего ансамбля.

Ответ: Период полураспада $T_{1/2}$ прямо пропорционален среднему времени жизни $\tau$ и связан с ним соотношением $T_{1/2} = \tau \ln 2$.

Как период полураспада связан с активностью элемента?

Активность ($\text{A}$) радиоактивного образца — это число распадов, происходящих в нем в единицу времени. Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер $N(t)$ и постоянной распада $\lambda$: $A(t) = \lambda N(t)$ Так как число ядер $N(t)$ убывает со временем по экспоненциальному закону $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, то и активность также убывает экспоненциально: $A(t) = \lambda (N_0 e^{-\lambda t}) = (\lambda N_0) e^{-\lambda t} = A_0 e^{-\lambda t}$, где $A_0 = \lambda N_0$ — начальная активность образца. Закон убывания активности имеет тот же вид, что и закон распада ядер. Следовательно, период полураспада $T_{1/2}$ — это также время, за которое активность радиоактивного образца уменьшается в два раза. $A(T_{1/2}) = A_0 e^{-\lambda T_{1/2}} = A_0 e^{-\ln 2} = A_0 \frac{1}{2}$. Таким образом, зная период полураспада, можно определить, как быстро будет спадать активность данного радиоактивного элемента.

Ответ: Период полураспада — это время, в течение которого активность радиоактивного элемента уменьшается вдвое.