Номер 3, страница 229 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Покоившееся ядро радона ${}_{86}^{220}Rn$ выбросило $\alpha$-частицу со скоростью $v_1 = 16 \text{ Мм/с}$. В какое ядро превратилось ядро радона? Какую скорость оно приобрело в результате отдачи?

Дано:

Исходное ядро: радон-220 ($^{220}_{86}Rn$)

Начальная скорость ядра радона: $v_{Rn} = 0$ (покоившееся ядро)

Выброшенная частица: $\alpha$-частица (ядро гелия $^{4}_{2}He$)

Скорость $\alpha$-частицы: $v_{1} = 16 \text{ Мм/с}$

$v_{1} = 16 \text{ Мм/с} = 16 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Найти:

1. В какое ядро превратилось ядро радона (обозначим его $\text{X}$)?

2. Какую скорость ($v_{2}$) оно приобрело в результате отдачи?

Решение:

В какое ядро превратилось ядро радона?

Альфа-распад — это вид радиоактивного распада, при котором ядро испускает $\alpha$-частицу (ядро атома гелия $^{4}_{2}He$). Реакцию распада ядра радона-220 можно записать следующим образом: $$^{220}_{86}Rn \rightarrow ^{A}_{Z}X + ^{4}_{2}He$$ Согласно законам сохранения массового числа (верхний индекс) и зарядового числа (нижний индекс):
Сохранение массового числа: $220 = A + 4 \implies A = 220 - 4 = 216$.
Сохранение зарядового числа: $86 = Z + 2 \implies Z = 86 - 2 = 84$.
Таким образом, образовалось ядро с массовым числом 216 и зарядовым числом 84. Элемент с порядковым номером Z=84 в периодической таблице Менделеева — это полоний (Po).
Следовательно, ядро радона превратилось в ядро полония-216.

Ответ: Ядро радона превратилось в ядро полония-216 ($^{216}_{84}Po$).

Какую скорость оно приобрело в результате отдачи?

Для нахождения скорости ядра отдачи воспользуемся законом сохранения импульса. Так как исходное ядро радона покоилось, его начальный импульс был равен нулю. Система (ядро радона) является замкнутой, поэтому суммарный импульс системы после распада также должен быть равен нулю. $$\vec{p}_{Rn} = \vec{p}_{\alpha} + \vec{p}_{Po}$$ $$0 = m_{\alpha}\vec{v}_{1} + m_{Po}\vec{v}_{2}$$ Отсюда следует, что векторы импульсов $\alpha$-частицы и ядра полония равны по модулю и противоположны по направлению: $$m_{Po}v_{2} = m_{\alpha}v_{1}$$ Выразим искомую скорость $v_{2}$: $$v_{2} = \frac{m_{\alpha}}{m_{Po}}v_{1}$$ Массы ядер можно с хорошей точностью считать пропорциональными их массовым числам: $m_{\alpha} \approx 4 \text{ а.е.м.}$ и $m_{Po} \approx 216 \text{ а.е.м.}$.
Подставим значения: $$v_{2} \approx \frac{4}{216} v_{1} = \frac{1}{54} v_{1}$$ $$v_{2} \approx \frac{1}{54} \cdot 16 \text{ Мм/с} \approx 0.296 \text{ Мм/с}$$ Переведем в м/с: $$v_{2} \approx 0.296 \cdot 10^6 \text{ м/с} = 2.96 \cdot 10^5 \text{ м/с}$$

Ответ: Скорость, приобретенная ядром в результате отдачи, составляет примерно $0.296 \text{ Мм/с}$ (или $2.96 \cdot 10^5 \text{ м/с}$).