Номер 5, страница 229 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

5*. При распаде полоний $_{84}^{210}Po$ превращается в стабильный свинец $_{82}^{207}Pb$. Какая масса свинца образуется в результате распада в $m = 1 \text{ мг}$ полония за время 69 суток? Период полураспада полония - 210 равен 138 дней.

5*. Дано:

Изотоп полония: $_{84}^{210}\text{Po}$
Изотоп свинца: $_{82}^{207}\text{Pb}$
Начальная масса полония: $m_{0} = 1 \text{ мг}$
Время распада: $t = 69 \text{ суток}$
Период полураспада полония-210: $T_{1/2} = 138 \text{ суток}$
Молярная масса полония-210: $M_{Po} \approx 210 \text{ г/моль}$
Молярная масса свинца-207: $M_{Pb} \approx 207 \text{ г/моль}$

Перевод в систему СИ:
$m_{0} = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
$t = 69 \text{ суток} = 69 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 5961600 \text{ с}$
$T_{1/2} = 138 \text{ суток} = 138 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 11923200 \text{ с}$
В данной задаче перевод времени в секунды не является обязательным, так как в расчетах используется отношение времени $\text{t}$ к периоду полураспада $T_{1/2}$, и единицы измерения (сутки) сокращаются.

Найти:

$m_{Pb}$ — массу образовавшегося свинца.

Решение:

Запишем закон радиоактивного распада для массы полония. Масса нераспавшегося полония $m_{Po}(t)$ через время $\text{t}$ определяется формулой:
$m_{Po}(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$
где $m_0$ — начальная масса полония.

Подставим данные из условия, чтобы найти массу полония, оставшуюся через 69 суток:
$m_{Po}(69) = 1 \text{ мг} \cdot 2^{-69/138} = 1 \cdot 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ мг}$

Масса полония, которая распалась за это время, равна разности начальной массы и оставшейся массы:
$\Delta m_{Po} = m_0 - m_{Po}(69) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ мг}$

В условии сказано, что при распаде полоний $_{84}^{210}\text{Po}$ превращается в свинец $_{82}^{207}\text{Pb}$. Это означает, что каждый распавшийся атом полония образует один атом свинца. Следовательно, количество распавшихся атомов полония $\Delta N_{Po}$ равно количеству образовавшихся атомов свинца $N_{Pb}$:
$\Delta N_{Po} = N_{Pb}$

Количество вещества (в молях) связано с массой $\text{m}$ и молярной массой $\text{M}$ как $\nu = m/M$. А число атомов $\text{N}$ связано с количеством вещества как $N = \nu \cdot N_A$, где $N_A$ — число Авогадро. Тогда:
$\frac{\Delta m_{Po}}{M_{Po}} = \frac{m_{Pb}}{M_{Pb}}$

Отсюда выразим массу образовавшегося свинца $m_{Pb}$:
$m_{Pb} = \Delta m_{Po} \cdot \frac{M_{Pb}}{M_{Po}}$

Подставим выражение для $\Delta m_{Po}$:
$m_{Pb} = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{M_{Pb}}{M_{Po}}$

Молярные массы изотопов с хорошей точностью пропорциональны их массовым числам. Поэтому отношение молярных масс можно заменить отношением массовых чисел:
$\frac{M_{Pb}}{M_{Po}} \approx \frac{207}{210}$

Теперь проведем вычисления:
$m_{Pb} = 1 \text{ мг} \cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{207}{210}$
$m_{Pb} \approx 1 \cdot (1 - 0.7071) \cdot 0.9857 \text{ мг}$
$m_{Pb} \approx 0.2929 \cdot 0.9857 \text{ мг} \approx 0.2886 \text{ мг}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

Ответ: масса образовавшегося свинца составляет примерно $0.289 \text{ мг}$.