Номер 4, страница 229 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Некоторый радиоактивный изотоп имеет период полураспада Т. Какая часть ядер распалась за время $t = 3T$?

Дано:

Период полураспада радиоактивного изотопа = $\text{T}$

Время наблюдения = $t = 3T$

Найти:

Часть распавшихся ядер, $\frac{\Delta N}{N_0}$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся ядер $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $\text{T}$ — период полураспада.

Сначала найдем долю ядер, которая осталась нераспавшейся по истечении времени $t = 3T$. Для этого разделим обе части уравнения на $N_0$ и подставим данное время:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-t/T} = 2^{-3T/T} = 2^{-3}$

Вычислим это значение:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Таким образом, через время, равное трем периодам полураспада, останется $\frac{1}{8}$ от первоначального количества ядер.

Вопрос задачи — какая часть ядер распалась. Эту часть можно найти, вычтя из единицы (представляющей все начальные ядра) долю оставшихся ядер:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{N}{N_0}$

Подставим найденное значение:

$\frac{\Delta N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: за время $t = 3T$ распалась $\frac{7}{8}$ часть ядер.