Номер 2, страница 219 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов $U = 51 \text{ В}$. Определите длину волны де Бройля. Масса электрона равна $9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$, модуль заряда электрона $|e| = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл.}$

Дано:

Начальная скорость электрона $v_0 \approx 0$

Ускоряющая разность потенциалов $U = 51 \text{ В}$

Масса электрона $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Модуль заряда электрона $|e| = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Постоянная Планка (справочное значение) $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Найти:

Длину волны де Бройля $\lambda$

Решение:

Длина волны де Бройля $\lambda$ для частицы с импульсом $\text{p}$ определяется по формуле:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $\text{h}$ — постоянная Планка.

Чтобы найти длину волны, нам необходимо определить импульс электрона $\text{p}$ после того, как он прошел ускоряющую разность потенциалов.

Согласно теореме о кинетической энергии, работа $\text{A}$, совершаемая электрическим полем над электроном, равна изменению его кинетической энергии $\Delta E_k$.

$A = \Delta E_k = E_k - E_{k0}$

Работа электрического поля при перемещении заряда $|e|$ через разность потенциалов $\text{U}$ составляет:

$A = |e|U$

Так как начальной скоростью электрона можно пренебречь, его начальная кинетическая энергия $E_{k0}$ равна нулю. Таким образом, конечная кинетическая энергия электрона $E_k$ равна работе поля:

$E_k = |e|U$

Кинетическую энергию можно выразить через импульс $p = mv$:

$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$

Приравнивая два выражения для кинетической энергии, получаем:

$\frac{p^2}{2m} = |e|U$

Отсюда выражаем импульс электрона:

$p^2 = 2m|e|U$

$p = \sqrt{2m|e|U}$

Теперь подставим это выражение для импульса в формулу для длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m|e|U}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 51}}$

Проведем вычисления подкоренного выражения:

$2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 51 = (2 \cdot 9,1 \cdot 1,6 \cdot 51) \cdot 10^{-31-19} = 1485,12 \cdot 10^{-50}$

Тогда импульс:

$p = \sqrt{1485,12 \cdot 10^{-50}} \approx 38,54 \cdot 10^{-25} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

И длина волны:

$\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{38,54 \cdot 10^{-25}} \approx 0,172 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Этот результат можно представить в нанометрах (1 нм = $10^{-9}$ м): $\lambda \approx 0,172 \text{ нм}$.

Ответ: $\lambda \approx 0,172 \cdot 10^{-9} \text{ м}$ (или 0,172 нм).