Номер 4, страница 219 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. На узкую щель шириной 1 мкм направлен пучок электронов, имеющих скорость 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определите расстояние между двумя первыми максимумами интенсивности в дифракционной картине на экране, отстоящем на 10 см от щели.

Дано:

Ширина щели, $d = 1 \text{ мкм}$

Скорость электронов, $v = 3,65 \text{ Мм/с}$

Расстояние от щели до экрана, $L = 10 \text{ см}$

$d = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$v = 3,65 \cdot 10^{6} \text{ м/с}$
$L = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между двумя первыми максимумами, $\Delta y$

Решение:

Электроны, обладая волновыми свойствами, при прохождении через узкую щель испытывают дифракцию. Сначала найдем длину волны де Бройля для электрона, используя его скорость. Длина волны $\lambda$ связана с импульсом частицы $\text{p}$ соотношением:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $\text{h}$ — постоянная Планка ($h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$). Импульс электрона $\text{p}$ равен произведению его массы $m_e$ ($m_e \approx 9,109 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$) на скорость $\text{v}$.

$\lambda = \frac{h}{m_e v}$

Подставим числовые значения для вычисления длины волны:

$\lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{9,109 \cdot 10^{-31} \cdot 3,65 \cdot 10^6} \approx 1,993 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

При дифракции на одной щели на экране наблюдается дифракционная картина, состоящая из центрального яркого максимума и боковых (вторичных) максимумов меньшей интенсивности. В задаче требуется найти расстояние между "двумя первыми максимумами". Это относится к первым вторичным максимумам, которые расположены симметрично по обе стороны от центрального.

Угловое положение вторичных максимумов в дифракционной картине от одиночной щели с хорошей точностью описывается условием:

$d \sin\theta_k \approx (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = \pm1, \pm2, ...$

Для первого вторичного максимума ($k=1$):

$d \sin\theta_1 \approx (1 + \frac{1}{2})\lambda = 1,5\lambda$

Отсюда можем найти угол, под которым наблюдается первый максимум:

$\sin\theta_1 \approx \frac{1,5\lambda}{d}$

Положение этого максимума на экране, находящемся на расстоянии $\text{L}$ от щели, определяется как $y_1 = L \tan\theta_1$. Поскольку углы дифракции в таких задачах обычно очень малы, можно использовать приближение $\tan\theta_1 \approx \sin\theta_1$.

Тогда координата первого максимума на экране:

$y_1 \approx L \sin\theta_1 = L \frac{1,5\lambda}{d}$

Второй первый максимум находится симметрично с другой стороны от центра в точке с координатой $y_{-1} = -y_1$. Расстояние между этими двумя максимумами $\Delta y$ равно:

$\Delta y = y_1 - y_{-1} = 2y_1 = 2L \frac{1,5\lambda}{d} = \frac{3L\lambda}{d}$

Теперь подставим все известные значения в полученную формулу:

$\Delta y = \frac{3 \cdot 0,1 \text{ м} \cdot 1,993 \cdot 10^{-10} \text{ м}}{1 \cdot 10^{-6} \text{ м}} \approx 5,98 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Результат можно выразить в более удобных единицах, например, в микрометрах (мкм):

$5,98 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 59,8 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 59,8 \text{ мкм}$

Ответ: Расстояние между двумя первыми максимумами интенсивности в дифракционной картине составляет $5,98 \cdot 10^{-5}$ м или 59,8 мкм.