Номер 3, страница 219 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Электрон движется по окружности радиусом 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл. Определите длину волны де Бройля.

Дано:

Радиус окружности, $r = 0,5 \text{ см}$
Индукция магнитного поля, $B = 8 \text{ мТл}$
Справочные данные:
Масса электрона, $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Перевод в систему СИ:
$r = 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,005 \text{ м}$
$B = 8 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

Длину волны де Бройля, $\lambda$.

Решение:

Длина волны де Бройля $\lambda$ связана с импульсом частицы $\text{p}$ соотношением:

$$ \lambda = \frac{h}{p} $$

где $\text{h}$ — постоянная Планка.

Импульс электрона $p = m_e v$ можно найти, рассмотрев его движение в магнитном поле. На электрон действует сила Лоренца, которая играет роль центростремительной силы и заставляет его двигаться по окружности. Так как движение происходит по окружности, скорость электрона $\text{v}$ перпендикулярна магнитной индукции $\text{B}$.

Сила Лоренца $F_Л$ и центростремительная сила $F_ц$ определяются формулами:

$$ F_Л = e v B $$

$$ F_ц = \frac{m_e v^2}{r} $$

Приравняем эти силы, так как $F_Л = F_ц$:

$$ e v B = \frac{m_e v^2}{r} $$

Выразим из этого уравнения импульс электрона $p = m_e v$. Для этого разделим обе части на $\text{v}$ (скорость не равна нулю):

$$ e B = \frac{m_e v}{r} $$

Отсюда следует:

$$ p = m_e v = e B r $$

Теперь подставим найденное выражение для импульса в формулу длины волны де Бройля:

$$ \lambda = \frac{h}{e B r} $$

Произведем вычисления, подставив числовые значения в СИ:

$$ \lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 8 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \cdot 0,005 \text{ м}} $$

$$ \lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{1,602 \cdot 8 \cdot 0,005 \cdot 10^{-22}} \text{ м} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{0,06408 \cdot 10^{-22}} \text{ м} $$

$$ \lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{6,408 \cdot 10^{-24}} \text{ м} \approx 1,034 \cdot 10^{-10} \text{ м} $$

Ответ: длина волны де Бройля равна $1,034 \cdot 10^{-10}$ м.