Номер 3, страница 64 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Во сколько раз уменьшается интенсивность сигнала при увеличении расстояния до точечного источника электромагнитной волны в 4 раза? Во сколько раз необходимо увеличить частоту колебаний источника сигнала для повышения интенсивности сигнала до первоначального значения?

1. Во сколько раз уменьшается интенсивность сигнала при увеличении расстояния

Дано:

Отношение конечного расстояния к начальному: $r_2 / r_1 = 4$.

Найти:

Отношение начальной интенсивности к конечной: $I_1 / I_2$.

Решение:

Интенсивность $\text{I}$ электромагнитной волны от точечного источника, который излучает энергию равномерно во всех направлениях (изотропно), определяется как мощность излучения $\text{P}$, деленная на площадь сферы $\text{S}$ радиусом $\text{r}$, на которую эта мощность распределяется.
Формула для интенсивности:
$I = \frac{P}{S} = \frac{P}{4\pi r^2}$
Из этой формулы видно, что интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника ($I \propto 1/r^2$), так как мощность источника $\text{P}$ считается постоянной.
Пусть $I_1$ — начальная интенсивность на расстоянии $r_1$, а $I_2$ — конечная интенсивность на расстоянии $r_2$.
$I_1 = \frac{P}{4\pi r_1^2}$
$I_2 = \frac{P}{4\pi r_2^2}$
Найдем отношение $I_1 / I_2$:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{P/(4\pi r_1^2)}{P/(4\pi r_2^2)} = \frac{4\pi r_2^2 \cdot P}{4\pi r_1^2 \cdot P} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
По условию задачи расстояние увеличилось в 4 раза, то есть $r_2 / r_1 = 4$. Подставим это значение в формулу:
$\frac{I_1}{I_2} = (4)^2 = 16$
Это означает, что начальная интенсивность в 16 раз больше конечной, то есть интенсивность уменьшилась в 16 раз.

Ответ: Интенсивность сигнала уменьшается в 16 раз.

2. Во сколько раз необходимо увеличить частоту для восстановления интенсивности

Дано:

Расстояние увеличилось в 4 раза: $r_2 = 4r_1$.
Новая интенсивность $I_{новая}$ на расстоянии $r_2$ должна быть равна первоначальной интенсивности $I_1$ на расстоянии $r_1$: $I_{новая} = I_1$.

Найти:

Отношение новой частоты к начальной: $f_2 / f_1$.

Решение:

Как было показано в первой части, при увеличении расстояния в 4 раза интенсивность падает в 16 раз (при неизменной мощности источника). Чтобы на новом расстоянии $r_2$ интенсивность стала равна первоначальной $I_1$, необходимо увеличить мощность излучения источника $\text{P}$ в 16 раз.
$I_{новая} = \frac{P_{новая}}{4\pi r_2^2} = \frac{P_{новая}}{4\pi (4r_1)^2} = \frac{P_{новая}}{16 \cdot 4\pi r_1^2}$
Поскольку $I_{новая} = I_1 = \frac{P_1}{4\pi r_1^2}$, то:
$\frac{P_1}{4\pi r_1^2} = \frac{P_{новая}}{16 \cdot 4\pi r_1^2} \implies P_{новая} = 16 P_1$
Мощность излучения электромагнитных волн точечным источником (в модели колеблющегося диполя) пропорциональна четвертой степени частоты $\text{f}$ его колебаний:
$P \propto f^4$
Пусть начальная мощность $P_1$ соответствует частоте $f_1$, а новая мощность $P_{новая}$ — частоте $f_2$. Тогда их отношение равно:
$\frac{P_{новая}}{P_1} = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^4$
Подставим в это соотношение найденное требование к мощностям $P_{новая} = 16 P_1$:
$16 = \left(\frac{f_2}{f_1}\right)^4$
Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить частоту ($f_2/f_1$), извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения:
$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt[4]{16} = 2$
Следовательно, для компенсации падения интенсивности из-за увеличения расстояния, необходимо увеличить частоту колебаний в 2 раза.

Ответ: Необходимо увеличить частоту колебаний источника сигнала в 2 раза.