Номер 6, страница 64 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

6. Катушка приемного контура радиоприемника имеет индуктивность $L = 1 \text{ мкГн}$. Какова емкость конденсатора, если сигнал принимается от станции, работающей на длине волны $\lambda = 1000 \text{ м}$?

Дано:

Индуктивность катушки $L = 1 \text{ мкГн} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Длина волны $\lambda = 1000 \text{ м}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Емкость конденсатора $\text{C}$.

Решение:

Радиоприемник принимает сигнал, когда его приемный контур настроен в резонанс с частотой принимаемой радиоволны. Это означает, что собственная частота колебаний LC-контура должна быть равна частоте электромагнитной волны.

Период собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Период электромагнитной волны связан с ее длиной волны $\lambda$ и скоростью света $\text{c}$ следующим соотношением:

$T = \frac{\lambda}{c}$

Для наступления резонанса необходимо, чтобы периоды были равны. Приравняем правые части этих двух формул:

$2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для того чтобы найти емкость конденсатора $\text{C}$, выразим ее из этого уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$(2\pi\sqrt{LC})^2 = \left(\frac{\lambda}{c}\right)^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Теперь выразим искомую емкость $\text{C}$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2c^2L}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$C = \frac{(1000 \text{ м})^2}{4\pi^2(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2(1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн})} = \frac{10^6}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-6}} = \frac{10^6}{36\pi^2 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{36\pi^2 \cdot 10^4} \text{ Ф}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi^2 \approx 9.87$:

$C \approx \frac{1}{36 \cdot 9.87 \cdot 10^4} \approx \frac{1}{355.32 \cdot 10^4} \approx 0.002814 \cdot 10^{-4} \text{ Ф} \approx 2.814 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Результат можно выразить в нанофарадах (нФ), где $1 \text{ Ф} = 10^9 \text{ нФ}$:

$C \approx 2.814 \cdot 10^{-7} \text{ Ф} \cdot 10^9 \frac{\text{нФ}}{\text{Ф}} \approx 281.4 \text{ нФ}$

Округлим значение до трех значащих цифр.

Ответ: емкость конденсатора должна быть приблизительно $2.81 \cdot 10^{-7}$ Ф, или 281 нФ.