Номер 1, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

1. Три точки $A$, $B$ и $C$ лежат в одной плоскости, а точка $D$ не принадлежит этой плоскости. Может ли четырехугольник $ABCD$ быть трапецией?

Дано

Три точки A, B, C лежат в одной плоскости (обозначим ее $P$).

Точка D не принадлежит плоскости $P$.

Рассматривается четырехугольник ABCD.

Найти:

Может ли четырехугольник ABCD быть трапецией?

Решение

Трапеция — это четырехугольник, у которого по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна. Важное свойство параллельных прямых заключается в том, что они всегда лежат в одной плоскости.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Его вершинами являются точки A, B, C, D. По условию, точки A, B, C лежат в плоскости $P$, а точка D не лежит в плоскости $P$. Следовательно, все четыре вершины A, B, C, D не являются компланарными (не лежат в одной плоскости).

Для того чтобы четырехугольник ABCD был трапецией, должна существовать пара параллельных сторон. Возможны два случая для пар противоположных сторон:

1. Если стороны AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$). В этом случае прямые AB и CD должны лежать в одной плоскости. Это означает, что все четыре точки A, B, C, D должны быть компланарными. Однако, как было установлено, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, так как D не принадлежит плоскости, содержащей A, B, C. Таким образом, условие $AB \parallel CD$ невозможно.

2. Если стороны BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$). Аналогично предыдущему случаю, прямые BC и AD должны лежать в одной плоскости, что требует компланарности всех точек A, B, C, D. Это также противоречит условию задачи, поскольку точка D находится вне плоскости, содержащей A, B, C. Таким образом, условие $BC \parallel AD$ невозможно.

Поскольку ни одна из пар противоположных сторон четырехугольника ABCD не может быть параллельной в силу того, что все четыре вершины не лежат в одной плоскости, четырехугольник ABCD не может быть трапецией. Трапеция является плоской фигурой, а точки A, B, C, D в данном случае образуют пространственную фигуру (косой четырехугольник), для которой понятие трапеции в классическом смысле не применимо.

Ответ: Нет.