Номер 5, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

5. Верно ли, что если линии пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ плоскостью $\gamma$ параллельны, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны?

Решение

Утверждение, которое необходимо проверить, звучит так: "Верно ли, что если линии пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ плоскостью $\gamma$ параллельны, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны?"

Пусть $L_1$ — это линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, то есть $L_1 = \alpha \cap \gamma$.

Пусть $L_2$ — это линия пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$, то есть $L_2 = \beta \cap \gamma$.

Нам дано условие, что $L_1 \parallel L_2$. Мы должны определить, следует ли из этого условия, что $\alpha \parallel \beta$.

Чтобы опровергнуть данное утверждение, достаточно привести один контрпример, то есть такой случай, когда линии $L_1$ и $L_2$ параллельны, но плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны.

Рассмотрим две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые не параллельны. Если они не параллельны, значит, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $L_{пересечения} = \alpha \cap \beta$.

В качестве примера, представим плоскость $\alpha$ как координатную плоскость $xz$ (уравнение $y=0$) и плоскость $\beta$ как координатную плоскость $yz$ (уравнение $x=0$). Эти две плоскости пересекаются по оси $z$. Очевидно, что $\alpha \not\parallel \beta$. В данном случае $L_{пересечения}$ является осью $z$.

Теперь выберем третью плоскость $\gamma$ таким образом, чтобы она была параллельна оси $z$. Например, возьмем плоскость $\gamma$ с уравнением $x+y=1$. Эта плоскость параллельна оси $z$, поскольку её нормальный вектор $(1,1,0)$ перпендикулярен направляющему вектору оси $z$, который равен $(0,0,1)$.

Найдем линии пересечения:

1. Линия $L_1 = \alpha \cap \gamma$:

Для плоскости $\alpha$ имеем $y=0$. Для плоскости $\gamma$ имеем $x+y=1$.

Подставляя $y=0$ в уравнение $x+y=1$, получаем $x=1$.

Таким образом, линия $L_1$ определяется как $y=0$ и $x=1$. Это прямая, параллельная оси $z$ в плоскости $xz$.

2. Линия $L_2 = \beta \cap \gamma$:

Для плоскости $\beta$ имеем $x=0$. Для плоскости $\gamma$ имеем $x+y=1$.

Подставляя $x=0$ в уравнение $x+y=1$, получаем $y=1$.

Таким образом, линия $L_2$ определяется как $x=0$ и $y=1$. Это прямая, параллельная оси $z$ в плоскости $yz$.

Обе найденные прямые $L_1$ (прямая $x=1, y=0$) и $L_2$ (прямая $x=0, y=1$) параллельны оси $z$. Следовательно, они параллельны друг другу: $L_1 \parallel L_2$.

В данном примере мы имеем ситуацию, когда линии пересечения $L_1$ и $L_2$ параллельны, но исходные плоскости $\alpha$ (плоскость $xz$) и $\beta$ (плоскость $yz$) не параллельны, так как они пересекаются по оси $z$.

Поскольку мы нашли контрпример, исходное утверждение не является верным.

Ответ: Нет, это утверждение неверно.