Номер 2, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

2. Даны параллельные прямые $a$, $b$ и точка $M$, не принадлежащая ни одной из них. Расположена ли точка $M$ в одной плоскости с прямыми $a$ и $b$, если известно, что через точку $M$ можно провести прямую, пересекающую:

а) обе прямые $a$ и $b$;

б) только одну из этих прямых?

Дано:

Даны параллельные прямые $a$ и $b$. Точка $M$ не принадлежит ни одной из прямых $a$ и $b$.

Найти:

Расположена ли точка $M$ в одной плоскости с прямыми $a$ и $b$ в каждом из случаев?

Решение

а) обе прямые a и b;

По аксиоме стереометрии, через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.

Известно, что через точку $M$ можно провести прямую $l$, которая пересекает обе прямые $a$ и $b$. Пусть прямая $l$ пересекает прямую $a$ в точке $A$, а прямую $b$ в точке $B$. То есть, $l \cap a = A$ и $l \cap b = B$.

Поскольку точка $A$ лежит на прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Аналогично, поскольку точка $B$ лежит на прямой $b$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$.

Так как прямая $l$ проходит через две точки $A$ и $B$, которые обе лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку точка $M$ лежит на прямой $l$, а прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$, то точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, точка $M$ расположена в одной плоскости с прямыми $a$ и $b$.

б) только одну из этих прямых?

Предположим, что через точку $M$ можно провести прямую $l$, которая пересекает только одну из прямых, например, прямую $a$ в точке $A$, и при этом не пересекает прямую $b$. То есть, $l \cap a = A$ и $l \cap b = \emptyset$.

Допустим, что точка $M$ расположена в той же плоскости $\alpha$, что и параллельные прямые $a$ и $b$.

Если точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, и точка $A$ (пересечение прямой $l$ с прямой $a$) также лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку $A \in a$ и $a \subset \alpha$), то прямая $l$, проходящая через точки $M$ и $A$, целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, в плоскости $\alpha$ существуют три прямые: $a$, $b$ и $l$. При этом $a || b$. Прямая $l$ пересекает прямую $a$ в точке $A$.

В евклидовой геометрии, если две прямые лежат в одной плоскости и не параллельны друг другу, они обязательно пересекаются. Так как $a || b$, прямая $l$, пересекающая $a$, либо параллельна $b$, либо пересекает $b$.

Если бы прямая $l$ была параллельна прямой $b$ ($l || b$), то, поскольку $a || b$, следовало бы, что $l || a$ (если $l \neq a$). Но по условию, прямая $l$ пересекает прямую $a$. Это противоречие.

Следовательно, прямая $l$ не может быть параллельна прямой $b$. Если $l$ не параллельна $b$ и обе лежат в плоскости $\alpha$, то они должны пересекаться. Это противоречит условию, что прямая $l$ не пересекает прямую $b$.

Таким образом, исходное предположение о том, что точка $M$ лежит в одной плоскости с прямыми $a$ и $b$, приводит к противоречию.

Следовательно, точка $M$ не может лежать в той же плоскости, что и прямые $a$ и $b$. Такой случай возможен, когда точка $M$ находится вне плоскости, содержащей $a$ и $b$. Например, если прямые $a$ и $b$ лежат на плоскости пола, а точка $M$ находится над полом. Тогда можно провести прямую от $M$ вниз, которая пересечет прямую $a$ на полу, но пройдет мимо прямой $b$, оставаясь в пространстве, но не пересекая $b$ на этой же плоскости.

Ответ: Нет, точка $M$ не расположена в одной плоскости с прямыми $a$ и $b$.