Номер 9, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

9. Дан треугольник с координатами вершин $A(4; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$. Вершина $C$ треугольника лежит на положительной полуоси $Oz$. Найдите длину медианы $CM$, если $\frac{AB^2}{CB^2} = \frac{2}{5}$.

Дано:

Координаты вершин треугольника: $A(4; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$.

Вершина $C$ лежит на положительной полуоси $Oz$, следовательно, ее координаты $C(0; 0; z_C)$, где $z_C > 0$.

Отношение квадратов длин сторон: $\frac{AB^2}{CB^2} = \frac{2}{5}$.

$CM$ - медиана треугольника $ABC$.

Найти:

Длину медианы $CM$.

Решение:

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$. Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

$AB^2 = (0-4)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2 = (-4)^2 + 4^2 + 0^2 = 16 + 16 + 0 = 32$.

2. Найдем квадрат длины стороны $CB$. Координаты $C(0; 0; z_C)$ и $B(0; 4; 0)$.

$CB^2 = (0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-z_C)^2 = 0^2 + 4^2 + (-z_C)^2 = 16 + z_C^2$.

3. Используем данное отношение для нахождения $z_C$:

$\frac{AB^2}{CB^2} = \frac{2}{5}$

$\frac{32}{16 + z_C^2} = \frac{2}{5}$

Перемножим крест-накрест:

$5 \times 32 = 2 \times (16 + z_C^2)$

$160 = 32 + 2z_C^2$

$128 = 2z_C^2$

$z_C^2 = \frac{128}{2}$

$z_C^2 = 64$

Поскольку вершина $C$ лежит на положительной полуоси $Oz$, $z_C > 0$.

$z_C = \sqrt{64} = 8$.

Таким образом, координаты вершины $C$ равны $C(0; 0; 8)$.

4. Найдем координаты точки $M$. Так как $CM$ является медианой, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляются по формуле $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$.

Координаты $A(4; 0; 0)$ и $B(0; 4; 0)$.

$M\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}, \frac{0}{2}\right) = M(2; 2; 0)$.

5. Вычислим длину медианы $CM$. Координаты $C(0; 0; 8)$ и $M(2; 2; 0)$.

$CM = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-8)^2}$

$CM = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2}$

$CM = \sqrt{4 + 4 + 64}$

$CM = \sqrt{72}$

Упростим выражение $\sqrt{72}$:

$CM = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Ответ:

Длина медианы $CM$ равна $6\sqrt{2}$.