Номер 13, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

13. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 см и 8 см, а боковое ребро – 10 см. Найдите сумму углов, образованных его диагональю с плоскостью основания и любой из боковых граней.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания $a = 6 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$ и боковым ребром (высотой) $h = 10 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

Так как все длины даны в сантиметрах, и углы являются безразмерными величинами, а конечный ответ не требует перевода в метры, можно оставить значения в сантиметрах.

Найти:

Сумму углов, образованных диагональю параллелепипеда с плоскостью основания и одной из боковых граней.

Решение:

Обозначим стороны основания как $a = 6 \text{ см}$ и $b = 8 \text{ см}$, а боковое ребро (высоту) как $h = 10 \text{ см}$.

1. Определим угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Для этого сначала найдем длину диагонали основания ($d_{осн}$). В прямоугольнике, лежащем в основании, диагональ $d_{осн}$ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами $a$ и $b$. По теореме Пифагора:

$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный пространственной диагональю параллелепипеда ($d$), диагональю основания ($d_{осн}$) и боковым ребром ($h$). Угол $\alpha$ — это угол между $d$ и $d_{осн}$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету (диагонали основания $d_{осн}$):

$\tan \alpha = \frac{h}{d_{осн}} = \frac{10}{10} = 1$.

Следовательно, $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

2. Определим угол $\beta$ между диагональю параллелепипеда и одной из боковых граней.

Найдем длину пространственной диагонали параллелепипеда ($d$):

$d = \sqrt{d_{осн}^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см}$.

В прямоугольном параллелепипеде есть две пары различных боковых граней. Выберем одну из них, например, грань с размерами $b \times h$ (стороны 8 см и 10 см). Пусть пространственная диагональ — $AC'$. Рассмотрим грань $BCC'B'$ (где $BC = b$, $CC' = h$).

Угол между диагональю $AC'$ и плоскостью грани $BCC'B'$ — это угол между $AC'$ и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией точки $A$ на плоскость грани $BCC'B'$ является точка $B$ (так как ребро $AB$ перпендикулярно этой грани). Проекция точки $C'$ на эту плоскость — сама $C'$. Таким образом, проекцией диагонали $AC'$ является отрезок $BC'$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC'$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, так как ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BCC'B'$.

В этом треугольнике:

• катет $AB = a = 6 \text{ см}$ (противолежащий углу $\beta$)
• гипотенуза $AC' = d = 10\sqrt{2} \text{ см}$ (пространственная диагональ)

Синус угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \beta = \frac{AB}{AC'} = \frac{a}{d} = \frac{6}{10\sqrt{2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$.

Следовательно, $\beta = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$.

3. Вычислим сумму углов.

Искомая сумма $S = \alpha + \beta$.

$S = 45^\circ + \arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$.

Ответ:

Сумма углов равна $45^\circ + \arcsin\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)$.