Номер 19, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

19. Дан треугольник с вершинами в точках $A(0; 0; 8), B(8; 0; 0), C(0; 8; 0),$ точка $O$ – начало системы координат. Найдите сумму площадей ортогональных проекций треугольников $AOB, BOC, AOC$ на плоскость треугольника $ABC$.

Дано:

Точки: $A(0; 0; 8)$, $B(8; 0; 0)$, $C(0; 8; 0)$, $O(0; 0; 0)$.

Найти:

Сумму площадей ортогональных проекций треугольников $AOB$, $BOC$, $AOC$ на плоскость треугольника $ABC$.

Решение:

1. Найдем площади треугольников $AOB$, $BOC$, $AOC$. Эти треугольники лежат в координатных плоскостях, и их стороны, исходящие из начала координат $O$, взаимно перпендикулярны.

Треугольник $AOB$ лежит в плоскости $xz$. Его катеты $OA$ и $OB$ лежат на осях $z$ и $x$ соответственно. Длина $OA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (8-0)^2} = 8$. Длина $OB = \sqrt{(8-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = 8$. Площадь $S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$.

Треугольник $BOC$ лежит в плоскости $xy$. Его катеты $OB$ и $OC$ лежат на осях $x$ и $y$ соответственно. Длина $OB = 8$. Длина $OC = \sqrt{(0-0)^2 + (8-0)^2 + (0-0)^2} = 8$. Площадь $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$.

Треугольник $AOC$ лежит в плоскости $yz$. Его катеты $OC$ и $OA$ лежат на осях $y$ и $z$ соответственно. Длина $OC = 8$. Длина $OA = 8$. Площадь $S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OA = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$.

2. Найдем уравнение плоскости, содержащей треугольник $ABC$. Для этого нам нужен нормальный вектор к плоскости $ABC$. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. $\vec{AB} = B - A = (8-0; 0-0; 0-8) = (8; 0; -8)$. $\vec{AC} = C - A = (0-0; 8-0; 0-8) = (0; 8; -8)$.

Нормальный вектор $\vec{n}_{ABC}$ к плоскости $ABC$ равен векторному произведению $\vec{AB} \times \vec{AC}$: $\vec{n}_{ABC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 0 & -8 \\ 0 & 8 & -8 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-8) - (-8) \cdot 8) - \mathbf{j}(8 \cdot (-8) - (-8) \cdot 0) + \mathbf{k}(8 \cdot 8 - 0 \cdot 0)$ $\vec{n}_{ABC} = \mathbf{i}(0 + 64) - \mathbf{j}(-64 - 0) + \mathbf{k}(64 - 0) = (64; 64; 64)$. Мы можем использовать более простой нормальный вектор $(1; 1; 1)$, так как важен только его направление. Модуль нормального вектора $|\vec{n}_{ABC}| = \sqrt{64^2 + 64^2 + 64^2} = \sqrt{3 \cdot 64^2} = 64\sqrt{3}$. Единичный нормальный вектор $\vec{u}_{ABC} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

3. Найдем косинусы углов между плоскостями треугольников $AOB$, $BOC$, $AOC$ и плоскостью $ABC$. Площадь ортогональной проекции $S_{proj} = S \cdot \cos\theta$, где $S$ - исходная площадь, $\theta$ - угол между плоскостью исходной фигуры и плоскостью проекции. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Нормальный вектор к плоскости $xz$ (где лежит $\triangle AOB$) - это вектор вдоль оси $y$, например $\vec{n}_{xz} = (0; 1; 0)$. Его модуль равен 1. $\cos\theta_{AOB} = \frac{|\vec{n}_{xz} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{|\vec{n}_{xz}| \cdot |\vec{n}_{ABC}|} = \frac{|(0; 1; 0) \cdot (64; 64; 64)|}{1 \cdot 64\sqrt{3}} = \frac{|0 \cdot 64 + 1 \cdot 64 + 0 \cdot 64|}{64\sqrt{3}} = \frac{64}{64\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Площадь проекции $S'_{AOB} = S_{AOB} \cdot \cos\theta_{AOB} = 32 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ (где лежит $\triangle BOC$) - это вектор вдоль оси $z$, например $\vec{n}_{xy} = (0; 0; 1)$. Его модуль равен 1. $\cos\theta_{BOC} = \frac{|\vec{n}_{xy} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{|\vec{n}_{xy}| \cdot |\vec{n}_{ABC}|} = \frac{|(0; 0; 1) \cdot (64; 64; 64)|}{1 \cdot 64\sqrt{3}} = \frac{|0 \cdot 64 + 0 \cdot 64 + 1 \cdot 64|}{64\sqrt{3}} = \frac{64}{64\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Площадь проекции $S'_{BOC} = S_{BOC} \cdot \cos\theta_{BOC} = 32 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$.

Нормальный вектор к плоскости $yz$ (где лежит $\triangle AOC$) - это вектор вдоль оси $x$, например $\vec{n}_{yz} = (1; 0; 0)$. Его модуль равен 1. $\cos\theta_{AOC} = \frac{|\vec{n}_{yz} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{|\vec{n}_{yz}| \cdot |\vec{n}_{ABC}|} = \frac{|(1; 0; 0) \cdot (64; 64; 64)|}{1 \cdot 64\sqrt{3}} = \frac{|1 \cdot 64 + 0 \cdot 64 + 0 \cdot 64|}{64\sqrt{3}} = \frac{64}{64\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Площадь проекции $S'_{AOC} = S_{AOC} \cdot \cos\theta_{AOC} = 32 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$.

4. Найдем сумму площадей ортогональных проекций. Сумма $S_{total} = S'_{AOB} + S'_{BOC} + S'_{AOC} = \frac{32}{\sqrt{3}} + \frac{32}{\sqrt{3}} + \frac{32}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{32}{\sqrt{3}} = \frac{96}{\sqrt{3}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $S_{total} = \frac{96\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3}$.

Ответ: $32\sqrt{3}$