Номер 20, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

20. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин $A(-6; 0; 2)$, $B(2; 8; 2)$, $C(-10; 4; 6)$, $D(2; 0; 4)$. Найдите длину вектора $\vec{AO}$, если $O$ - точка пересечения медиан грани $BCD$.

Дано:

вершины треугольной пирамиды с координатами: $A(-6; 0; 2)$
$B(2; 8; 2)$
$C(-10; 4; 6)$
$D(2; 0; 4)$
$O$ — точка пересечения медиан грани $BCD$ (центроид треугольника $BCD$)

Перевод в СИ: Не требуется.

Найти:

длину вектора $|\vec{AO}|$

Решение:

1. Найдем координаты точки $O$, которая является центроидом треугольника $BCD$. Координаты центроида находятся как среднее арифметическое соответствующих координат вершин треугольника. Если $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, $D(x_D, y_D, z_D)$, то координаты $O(x_O, y_O, z_O)$ вычисляются по формулам:
$x_O = \frac{x_B + x_C + x_D}{3}$
$y_O = \frac{y_B + y_C + y_D}{3}$
$z_O = \frac{z_B + z_C + z_D}{3}$
Подставим известные координаты:
$x_O = \frac{2 + (-10) + 2}{3} = \frac{2 - 10 + 2}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
$y_O = \frac{8 + 4 + 0}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$z_O = \frac{2 + 6 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$
Таким образом, координаты точки $O$ равны $(-2; 4; 4)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{AO}$. Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_A, y_A, z_A)$ и $O(x_O, y_O, z_O)$, определяются как разность координат конечной и начальной точек:
$\vec{AO} = (x_O - x_A; y_O - y_A; z_O - z_A)$
Подставим координаты $A(-6; 0; 2)$ и $O(-2; 4; 4)$:
$x_{\vec{AO}} = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
$y_{\vec{AO}} = 4 - 0 = 4$
$z_{\vec{AO}} = 4 - 2 = 2$
Следовательно, вектор $\vec{AO}$ имеет координаты $(4; 4; 2)$.

3. Вычислим длину вектора $\vec{AO}$. Длина вектора $\vec{v}(x, y, z)$ в трехмерном пространстве находится по формуле:
$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Для вектора $\vec{AO}(4; 4; 2)$:
$|\vec{AO}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2}$
$|\vec{AO}| = \sqrt{16 + 16 + 4}$
$|\vec{AO}| = \sqrt{36}$
$|\vec{AO}| = 6$

Ответ: $6$