Номер 21, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

21. Какое наименьшее число:

а) граней;

б) ребер;

в) вершин может иметь многогранник?

Решение

Многогранник — это замкнутое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями). Для любого многогранника справедлива формула Эйлера, связывающая число вершин ($V$), рёбер ($E$) и граней ($F$): $V - E + F = 2$.

Также существуют минимальные требования к структуре многогранника:

• Каждая грань должна быть многоугольником, то есть иметь не менее 3 рёбер.
• В каждой вершине должно сходиться не менее 3 рёбер.
• В каждой вершине должно сходиться не менее 3 граней.
• Каждое ребро является общей стороной ровно двух граней.

Исходя из этих правил, рассмотрим наименьшее возможное количество элементов. Самым простым (выпуклым) многогранником является тетраэдр.

а) граней

Для того чтобы многогранник мог замкнуть объем, ему необходимо иметь как минимум 4 грани. Меньшее количество граней не позволяет сформировать замкнутую поверхность, так как любые 3 плоскости, пересекаясь, не могут ограничить конечный объем. Например, 3 плоскости пересекаются либо в одной точке, либо по трем линиям, но не образуют замкнутого тела. Наименьшее число граней имеет тетраэдр, у которого 4 грани (треугольники).

Ответ: 4

б) рёбер

Из пункта а) мы знаем, что минимальное количество граней равно 4. Каждая грань должна быть многоугольником с не менее чем 3 рёбрами (т.е. треугольником). Если бы каждая из 4 граней была треугольником, то общее количество "рёбер на гранях" составило бы $4 \times 3 = 12$. Поскольку каждое ребро является общей стороной ровно двух граней, общее количество рёбер $E$ будет в два раза меньше этой суммы. Следовательно, $E = \frac{4 \times 3}{2} = 6$. Проверим это с помощью формулы Эйлера. Для тетраэдра $F=4$, $V=4$. Тогда $V - E + F = 2 \implies 4 - E + 4 = 2 \implies 8 - E = 2 \implies E = 6$. Таким образом, наименьшее число рёбер равно 6. Это количество рёбер у тетраэдра.

Ответ: 6

в) вершин

Используем формулу Эйлера: $V - E + F = 2$. Мы уже определили минимальное количество граней $F=4$ и минимальное количество рёбер $E=6$. Подставляем эти значения в формулу: $V - 6 + 4 = 2$ $V - 2 = 2$ $V = 4$ Таким образом, наименьшее число вершин, которое может иметь многогранник, равно 4. Это количество вершин у тетраэдра.

Ответ: 4