Номер 15, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

15. Даны точки $A(8; 0; 0)$, $B(0; 0; 5)$, $C(0; 7; 0)$, $D(8; 7; 5)$. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $DC$;

б) $AC$ и $BD$.

Дано:

$A(8; 0; 0)$

$B(0; 0; 5)$

$C(0; 7; 0)$

$D(8; 7; 5)$

Найти:

Расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $DC$

б) $AC$ и $BD$

Решение:

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ используется формула:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

где $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ – направляющие векторы прямых $L_1$ и $L_2$ соответственно, а $\vec{P_1P_2}$ – вектор, соединяющий произвольную точку $P_1$ на $L_1$ с произвольной точкой $P_2$ на $L_2$.

а) AB и DC;

1. Найдем направляющие векторы прямых $AB$ и $DC$:

Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{v_{AB}} = \vec{B} - \vec{A} = (0 - 8; 0 - 0; 5 - 0) = (-8; 0; 5)$.

Направляющий вектор прямой $DC$: $\vec{v_{DC}} = \vec{C} - \vec{D} = (0 - 8; 7 - 7; 0 - 5) = (-8; 0; -5)$.

2. Возьмем точки $A(8; 0; 0)$ на прямой $AB$ и $D(8; 7; 5)$ на прямой $DC$. Найдем вектор $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (8 - 8; 7 - 0; 5 - 0) = (0; 7; 5)$.

3. Вычислим векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_{AB}} \times \vec{v_{DC}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -8 & 0 & 5 \\ -8 & 0 & -5 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-5) - 5 \cdot 0) - \vec{j}(-8 \cdot (-5) - 5 \cdot (-8)) + \vec{k}(-8 \cdot 0 - 0 \cdot (-8))$

$= \vec{i}(0 - 0) - \vec{j}(40 - (-40)) + \vec{k}(0 - 0) = (0; -80; 0)$.

4. Вычислим модуль полученного векторного произведения:

$\|\vec{v_{AB}} \times \vec{v_{DC}}\| = \sqrt{0^2 + (-80)^2 + 0^2} = \sqrt{6400} = 80$.

5. Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{AD}$ на векторное произведение направляющих векторов):

$\vec{AD} \cdot (\vec{v_{AB}} \times \vec{v_{DC}}) = (0; 7; 5) \cdot (0; -80; 0) = 0 \cdot 0 + 7 \cdot (-80) + 5 \cdot 0 = 0 - 560 + 0 = -560$.

6. Найдем расстояние по формуле:

$d_{AB,DC} = \frac{|-560|}{80} = \frac{560}{80} = 7$.

Ответ: $7$

б) AC и BD;

1. Найдем направляющие векторы прямых $AC$ и $BD$:

Направляющий вектор прямой $AC$: $\vec{v_{AC}} = \vec{C} - \vec{A} = (0 - 8; 7 - 0; 0 - 0) = (-8; 7; 0)$.

Направляющий вектор прямой $BD$: $\vec{v_{BD}} = \vec{D} - \vec{B} = (8 - 0; 7 - 0; 5 - 5) = (8; 7; 0)$.

2. Возьмем точки $A(8; 0; 0)$ на прямой $AC$ и $B(0; 0; 5)$ на прямой $BD$. Найдем вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (0 - 8; 0 - 0; 5 - 0) = (-8; 0; 5)$.

3. Вычислим векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_{AC}} \times \vec{v_{BD}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -8 & 7 & 0 \\ 8 & 7 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(7 \cdot 0 - 0 \cdot 7) - \vec{j}(-8 \cdot 0 - 0 \cdot 8) + \vec{k}(-8 \cdot 7 - 7 \cdot 8)$

$= \vec{i}(0 - 0) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(-56 - 56) = (0; 0; -112)$.

4. Вычислим модуль полученного векторного произведения:

$\|\vec{v_{AC}} \times \vec{v_{BD}}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-112)^2} = \sqrt{12544} = 112$.

5. Вычислим смешанное произведение:

$\vec{AB} \cdot (\vec{v_{AC}} \times \vec{v_{BD}}) = (-8; 0; 5) \cdot (0; 0; -112) = -8 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 5 \cdot (-112) = 0 + 0 - 560 = -560$.

6. Найдем расстояние по формуле:

$d_{AC,BD} = \frac{|-560|}{112} = \frac{560}{112} = 5$.

Ответ: $5$