Номер 18, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

18. Основание пирамиды $SABCD$ – ромб $ABCD$ со стороной $b$ и углом $A$, равным $60^\circ$. Грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны к плоскости основания, а высота пирамиды равна $b$. Найдите:

а) двугранный угол, образованный плоскостями $SBD$ и $ABD$;

б) расстояние от точки $A$ до плоскости $SBD$.

Дано:

Пирамида $SABCD$.

Основание $ABCD$ — ромб.

Сторона ромба $AB = BC = CD = DA = b$.

Угол $\angle DAB = 60^\circ$.

Грань $SAB \perp$ плоскости $ABCD$.

Грань $SAD \perp$ плоскости $ABCD$.

Высота пирамиды $SA = b$.

Данные представлены в буквенном виде и в градусах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

a) Двугранный угол, образованный плоскостями $SBD$ и $ABD$.

b) Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBD$.

Решение:

Поскольку грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, их линия пересечения $SA$ перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, $SA$ является высотой пирамиды, и $SA = b$.

В основании лежит ромб $ABCD$ со стороной $b$ и углом $\angle DAB = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$. $AB = AD = b$ и $\angle DAB = 60^\circ$. Следовательно, $\triangle ABD$ является равносторонним треугольником со стороной $b$.

a) двугранный угол, образованный плоскостями $SBD$ и $ABD$

Линией пересечения плоскостей $SBD$ и $ABD$ является прямая $BD$. Чтобы найти двугранный угол, необходимо построить перпендикуляры к $BD$ в каждой из этих плоскостей из одной точки на $BD$.

В плоскости основания $ABCD$ (являющейся плоскостью $ABD$) проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BD$ в равностороннем треугольнике $ABD$. Так как $\triangle ABD$ равносторонний со стороной $b$, длина высоты $AH = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. По построению, $AH \perp BD$.

Поскольку $SA \perp (ABCD)$, то $SA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$, в том числе $AH$. Значит, $\triangle SAH$ - прямоугольный треугольник с прямым углом при $A$.

Применим теорему о трех перпендикулярах: $SA$ - перпендикуляр к плоскости $ABCD$, $AH$ - проекция наклонной $SH$ на плоскость $ABCD$. Поскольку $AH \perp BD$, то и сама наклонная $SH$ перпендикулярна $BD$. То есть, $SH \perp BD$.

Итак, $AH \perp BD$ (в плоскости $ABD$) и $SH \perp BD$ (в плоскости $SBD$). Следовательно, угол между плоскостями $SBD$ и $ABD$ - это угол $\angle SHA$.

В прямоугольном треугольнике $SAH$:

$SA = b$

$AH = \frac{b\sqrt{3}}{2}$

Тангенс угла $\angle SHA$ равен отношению противолежащего катета $SA$ к прилежащему катету $AH$:

$\tan(\angle SHA) = \frac{SA}{AH} = \frac{b}{\frac{b\sqrt{3}}{2}} = \frac{2b}{b\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, двугранный угол равен $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

b) расстояние от точки $A$ до плоскости $SBD$

Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBD$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $SBD$.

Мы знаем, что $AH \perp BD$ (из части a)).

Поскольку $SA \perp (ABCD)$, то $SA \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AH$ и $SA$ в плоскости $SAH$, то $BD \perp (SAH)$.

Это означает, что любая прямая, лежащая в плоскости $SAH$, перпендикулярна $BD$.

Опустим перпендикуляр $AK$ из вершины $A$ на гипотенузу $SH$ в прямоугольном треугольнике $SAH$. (Точка $K$ лежит на $SH$). По построению, $AK \perp SH$.

Так как $AK$ лежит в плоскости $SAH$, и $BD \perp (SAH)$, то $AK \perp BD$.

Таким образом, $AK$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $SH$ и $BD$, лежащим в плоскости $SBD$. Следовательно, $AK \perp (SBD)$.

Длина отрезка $AK$ и является искомым расстоянием.

Для нахождения $AK$ сначала вычислим длину гипотенузы $SH$ в прямоугольном треугольнике $SAH$ по теореме Пифагора:

$SH = \sqrt{SA^2 + AH^2} = \sqrt{b^2 + \left(\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{b^2 + \frac{3b^2}{4}} = \sqrt{\frac{4b^2+3b^2}{4}} = \sqrt{\frac{7b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{7}}{2}$.

Теперь найдем длину высоты $AK$, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике $SAH$, используя формулу площади: $S_{SAH} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot SH \cdot AK$.

Отсюда $AK = \frac{SA \cdot AH}{SH}$.

$AK = \frac{b \cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}}{\frac{b\sqrt{7}}{2}} = \frac{b^2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{b\sqrt{7}} = \frac{b\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{b\sqrt{3}\sqrt{7}}{7} = \frac{b\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{b\sqrt{21}}{7}$