Номер 14, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

14. Плоскости правильного треугольника $ABC$ и квадрата $ACDE$ перпендикулярны. Найдите расстояние между точками $B$ и $D$, если $AC = 8 \text{ см}.$

Дано:

Плоскость правильного треугольника $ABC$ и плоскость квадрата $ACDE$ перпендикулярны.

Сторона $AC = 8$ см.

Перевод в СИ:

$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$. Для удобства вычислений далее все расчеты будут производиться в сантиметрах.

Найти:

Расстояние между точками $B$ и $D$, то есть длину отрезка $BD$.

Решение:

1. Поскольку $\triangle ABC$ - правильный, все его стороны равны: $AB = BC = AC = 8$ см.

2. Так как $ACDE$ - квадрат, все его стороны равны: $AC = CD = DE = EA = 8$ см. Углы квадрата прямые, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

3. Пусть $M$ - середина стороны $AC$. Тогда $BM$ является высотой правильного треугольника $ABC$. Длина высоты $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = AC = 8$ см, поэтому $BM = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

4. Поскольку плоскости $\triangle ABC$ и квадрата $ACDE$ перпендикулярны, и прямая $BM$ лежит в плоскости $\triangle ABC$ и перпендикулярна их общей линии пересечения $AC$ (так как $BM$ - высота, опущенная на $AC$), то $BM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ACDE$.

5. Из перпендикулярности $BM$ к плоскости $ACDE$ следует, что $BM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $M$. В частности, $BM \perp MD$.

6. Таким образом, треугольник $BMD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$. Для нахождения $BD$ воспользуемся теоремой Пифагора: $BD^2 = BM^2 + MD^2$.

7. Найдем длину отрезка $MD$. В квадрате $ACDE$, $M$ - середина $AC$. Значит, $MC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCD$ (угол $C$ в квадрате $ACDE$ равен $90^\circ$, поэтому $MC \perp CD$). По теореме Пифагора:

$MD^2 = MC^2 + CD^2$

$MD^2 = 4^2 + 8^2$

$MD^2 = 16 + 64$

$MD^2 = 80$

$MD = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

9. Теперь подставим значения $BM$ и $MD$ в формулу для $BD$:

$BD^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{5})^2$

$BD^2 = (16 \cdot 3) + (16 \cdot 5)$

$BD^2 = 48 + 80$

$BD^2 = 128$

$BD = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ:

$8\sqrt{2}$ см