Номер 16, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

16. Дан тетраэдр DABC. На медиане $DD_1$ его грани ADB отмечена точка F так, что $DF : FD_1 = 2 : 3$. Выразите вектор $\overrightarrow{CF}$ через векторы $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Дано:

Тетраэдр $DABC$.

$DD_1$ - медиана грани $ADB$.

Точка $F$ лежит на отрезке $DD_1$ так, что $DF : FD_1 = 2 : 3$.

Найти:

Выразить вектор $\overrightarrow{CF}$ через векторы $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CD}$.

Решение:

Для решения задачи выберем точку $C$ в качестве начала отсчета векторов. Тогда заданные векторы будут $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$.

По условию, $DD_1$ является медианой грани $ADB$. Это означает, что точка $D_1$ является серединой отрезка $AB$.

Вектор $\overrightarrow{CD_1}$ можно выразить как полусумму векторов, идущих из точки $C$ к концам отрезка $AB$:

$\overrightarrow{CD_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$

Далее, точка $F$ лежит на отрезке $DD_1$ и делит его в отношении $DF : FD_1 = 2 : 3$. Это означает, что $F$ делит отрезок $DD_1$ в отношении $2$ к $3$, то есть $DD_1$ состоит из $2+3=5$ частей, где $DF$ составляет $2$ части, а $FD_1$ - $3$ части.

Используем формулу деления отрезка в заданном отношении для вектора $\overrightarrow{CF}$ относительно точки $C$:

$\overrightarrow{CF} = \frac{3 \cdot \overrightarrow{CD} + 2 \cdot \overrightarrow{CD_1}}{2 + 3}$

$\overrightarrow{CF} = \frac{3 \overrightarrow{CD} + 2 \overrightarrow{CD_1}}{5}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для $\overrightarrow{CD_1}$ в эту формулу:

$\overrightarrow{CF} = \frac{3 \overrightarrow{CD} + 2 \left( \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \right)}{5}$

Упростим выражение:

$\overrightarrow{CF} = \frac{3 \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}}{5}$

Разделим каждый член числителя на 5, чтобы получить желаемый формат:

$\overrightarrow{CF} = \frac{1}{5}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{5}\overrightarrow{CB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$

Ответ: $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{5}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{5}\overrightarrow{CB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{CD}$