Номер 22, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

22. На рисунке 40 изображен многогранник ABCDE, все грани которого правильные треугольники. Назовите:

а) его смежные грани;

б) плоские углы при вершине $D$;

в) диагональ этого многогранника.

Рисунок 40

а) его смежные грани

Смежные грани многогранника — это грани, имеющие общую сторону (ребро). Данный многогранник $ABCDE$ является треугольной бипирамидой, у которой вершины A и E являются полюсами, а вершины B, C, D образуют экваториальный треугольник. Все грани многогранника — правильные треугольники.

Грани многогранника:

Верхняя часть: $\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$.

Нижняя часть: $\triangle EBC$, $\triangle ECD$, $\triangle EBD$.

Пары смежных граней (с указанием общего ребра): $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ (общая сторона AB); $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ (общая сторона AC); $\triangle ABC$ и $\triangle EBC$ (общая сторона BC); $\triangle ACD$ и $\triangle ABD$ (общая сторона AD); $\triangle ACD$ и $\triangle ECD$ (общая сторона CD); $\triangle ABD$ и $\triangle EBD$ (общая сторона BD); $\triangle EBC$ и $\triangle EBD$ (общая сторона EB); $\triangle EBC$ и $\triangle ECD$ (общая сторона EC); $\triangle ECD$ и $\triangle EBD$ (общая сторона ED).

Ответ: $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$; $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$; $\triangle ABC$ и $\triangle EBC$; $\triangle ACD$ и $\triangle ABD$; $\triangle ACD$ и $\triangle ECD$; $\triangle ABD$ и $\triangle EBD$; $\triangle EBC$ и $\triangle EBD$; $\triangle EBC$ и $\triangle ECD$; $\triangle ECD$ и $\triangle EBD$.

б) плоские углы при вершине D

Плоские углы при вершине многогранника — это углы его граней, сходящихся в данной вершине. В условии сказано, что все грани многогранника являются правильными треугольниками. Следовательно, каждый угол любой грани равен $60^\circ$.

В вершине D сходятся четыре грани: $\triangle ABD$, $\triangle ACD$, $\triangle EBD$, $\triangle ECD$.

Плоские углы при вершине D, лежащие в этих гранях, следующие:

$\angle ADB$ (из грани $\triangle ABD$), $\angle ADC$ (из грани $\triangle ACD$), $\angle EDB$ (из грани $\triangle EBD$), $\angle EDC$ (из грани $\triangle ECD$).

Поскольку все грани являются правильными треугольниками, каждый из этих углов равен $60^\circ$.

Ответ: $\angle ADB$, $\angle ADC$, $\angle EDB$, $\angle EDC$. Все они равны $60^\circ$.

в) диагональ этого многогранника

Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Вершины данного многогранника: A, B, C, D, E.

Перечислим все ребра многогранника (отрезки, соединяющие вершины, лежащие на одной грани): AB, AC, AD, BC, CD, DB, EB, EC, ED. Все эти отрезки являются ребрами, а не диагоналями.

Теперь рассмотрим пары вершин, которые не соединены ребром. Единственная такая пара — это вершины A и E.

Проверим, лежат ли вершины A и E на одной грани. Перечислим все грани многогранника: $\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$, $\triangle EBC$, $\triangle ECD$, $\triangle EBD$. Ни одна из этих граней не содержит одновременно вершины A и E.

Таким образом, отрезок, соединяющий вершины A и E, является диагональю многогранника.

Ответ: AE