Номер 26, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

26. Площадь диагонального сечения куба равна $16\sqrt{2}$ $\text{см}^2$. Найдите:

а) длину ребра куба;

б) диагональ его основания;

в) диагональ куба;

г) площадь его поверхности.

Дано

Площадь диагонального сечения куба $S_{сеч} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Переведем данные в систему СИ, хотя для удобства вычислений далее будут использоваться сантиметры:

$S_{сеч} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2 = 16\sqrt{2} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 16\sqrt{2} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

а) длину ребра куба $a$

б) диагональ его основания $d_{осн}$

в) диагональ куба $D$

г) площадь его поверхности $S_{пов}$

Решение

а) длину ребра куба

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна ребру куба $a$, а другая — диагонали основания куба $d_{осн}$. Диагональ основания куба (квадрата со стороной $a$) равна $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ выражается формулой: $S_{сеч} = a \cdot d_{осн} = a \cdot (a\sqrt{2}) = a^2\sqrt{2}$.

Из условия задачи нам дано: $S_{сеч} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Приравниваем выражения для площади сечения:

$a^2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

Делим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$a^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень:

$a = \sqrt{16}$

$a = 4 \text{ см}$

Ответ: $4 \text{ см}$

б) диагональ его основания

Диагональ основания куба (квадрата со стороной $a$) вычисляется по формуле $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

Используя найденное значение ребра куба $a = 4 \text{ см}$:

$d_{осн} = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}$

в) диагональ куба

Диагональ куба $D$ вычисляется по формуле $D = a\sqrt{3}$ (или по теореме Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ основания $d_{осн}$: $D = \sqrt{a^2 + d_{осн}^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$).

Используя найденное значение ребра куба $a = 4 \text{ см}$:

$D = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}$

г) площадь его поверхности

Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a^2$.

Площадь всей поверхности куба $S_{пов}$ вычисляется по формуле $S_{пов} = 6a^2$.

Используя найденное значение ребра куба $a = 4 \text{ см}$:

$S_{пов} = 6 \cdot (4)^2$

$S_{пов} = 6 \cdot 16$

$S_{пов} = 96 \text{ см}^2$

Ответ: $96 \text{ см}^2$