Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

24. Чему равна сумма плоских углов при каждой вершине:

а) прямоугольного параллелепипеда;

б) правильного тетраэдра?

Дано:

a) Геометрическое тело - прямоугольный параллелепипед.
б) Геометрическое тело - правильный тетраэдр.

Найти:

Сумму плоских углов при каждой вершине для указанных геометрических тел.

Решение:

a) прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед - это многогранник, все грани которого являются прямоугольниками. Каждая вершина прямоугольного параллелепипеда является общей для трех граней. Так как грани являются прямоугольниками, то каждый плоский угол при вершине равен $90^\circ$.
Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине прямоугольного параллелепипеда будет равна сумме трех углов по $90^\circ$:
$\sum \alpha = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 3 \times 90^\circ = 270^\circ$
Ответ: $270^\circ$

б) правильного тетраэдра
Правильный тетраэдр - это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Каждая вершина правильного тетраэдра является общей для трех граней. Так как грани являются равносторонними треугольниками, каждый угол такого треугольника равен $60^\circ$.
Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине правильного тетраэдра будет равна сумме трех углов по $60^\circ$:
$\sum \alpha = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 3 \times 60^\circ = 180^\circ$
Ответ: $180^\circ$

25. Выберите неверное утверждение:

а) куб является прямоугольным параллелепипедом;

б) все грани куба равны;

в) диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$;

г) диагональное сечение куба является квадратом.

а) куб является прямоугольным параллелепипедом
Куб - это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все грани являются квадратами. Прямоугольный параллелепипед определяется как многогранник, все грани которого - прямоугольники. Поскольку все грани куба являются квадратами (а квадрат - это частный случай прямоугольника), куб удовлетворяет определению прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: Утверждение верно.

б) все грани куба равны
Куб состоит из шести граней, каждая из которых является квадратом. По определению куба, все его рёбра имеют одинаковую длину $a$. Следовательно, все грани являются квадратами со стороной $a$, а значит, они конгруэнтны (равны).
Ответ: Утверждение верно.

в) диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$
Пусть $a$ - длина ребра куба. Рассмотрим пространственную диагональ куба $D$.
Сначала найдём диагональ грани $d_{грани}$. Грани куба - это квадраты. По теореме Пифагора для квадрата со стороной $a$:
$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d_{грани} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром куба $a$, диагональю грани $d_{грани}$ и пространственной диагональю $D$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро перпендикулярно грани, содержащей $d_{грани}$. По теореме Пифагора:
$D^2 = d_{грани}^2 + a^2$
Подставим значение $d_{грани}$:
$D^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
$D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
Ответ: Утверждение верно.

г) диагональное сечение куба является квадратом
Диагональное сечение куба - это сечение, проходящее через два противоположных ребра, не лежащих в одной грани. Например, если взять куб с вершинами A, B, C, D (нижнее основание) и A', B', C', D' (верхнее основание), то диагональным сечением будет прямоугольник ACC'A'.
Длины сторон этого прямоугольника будут:
Одна сторона - это ребро куба, например, $AA' = a$.
Другая сторона - это диагональ грани, например, $AC$. Диагональ грани $AC$ (для квадрата со стороной $a$) равна $a\sqrt{2}$.
Таким образом, диагональное сечение имеет размеры $a$ на $a\sqrt{2}$.
Так как $a \neq a\sqrt{2}$ (если $a \neq 0$), это сечение является прямоугольником, но не квадратом.
Ответ: Утверждение неверно.

Неверное утверждение: г) диагональное сечение куба является квадратом.

26. Площадь диагонального сечения куба равна $16\sqrt{2}$ $\text{см}^2$. Найдите:

а) длину ребра куба;

б) диагональ его основания;

в) диагональ куба;

г) площадь его поверхности.

Дано

Площадь диагонального сечения куба $S_{сеч} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Переведем данные в систему СИ, хотя для удобства вычислений далее будут использоваться сантиметры:

$S_{сеч} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2 = 16\sqrt{2} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 16\sqrt{2} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

а) длину ребра куба $a$

б) диагональ его основания $d_{осн}$

в) диагональ куба $D$

г) площадь его поверхности $S_{пов}$

Решение

а) длину ребра куба

Диагональное сечение куба представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна ребру куба $a$, а другая — диагонали основания куба $d_{осн}$. Диагональ основания куба (квадрата со стороной $a$) равна $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ выражается формулой: $S_{сеч} = a \cdot d_{осн} = a \cdot (a\sqrt{2}) = a^2\sqrt{2}$.

Из условия задачи нам дано: $S_{сеч} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Приравниваем выражения для площади сечения:

$a^2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

Делим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$a^2 = 16$

Извлекаем квадратный корень:

$a = \sqrt{16}$

$a = 4 \text{ см}$

Ответ: $4 \text{ см}$

б) диагональ его основания

Диагональ основания куба (квадрата со стороной $a$) вычисляется по формуле $d_{осн} = a\sqrt{2}$.

Используя найденное значение ребра куба $a = 4 \text{ см}$:

$d_{осн} = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}$

в) диагональ куба

Диагональ куба $D$ вычисляется по формуле $D = a\sqrt{3}$ (или по теореме Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ основания $d_{осн}$: $D = \sqrt{a^2 + d_{осн}^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$).

Используя найденное значение ребра куба $a = 4 \text{ см}$:

$D = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}$

г) площадь его поверхности

Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратных граней. Площадь одной грани равна $a^2$.

Площадь всей поверхности куба $S_{пов}$ вычисляется по формуле $S_{пов} = 6a^2$.

Используя найденное значение ребра куба $a = 4 \text{ см}$:

$S_{пов} = 6 \cdot (4)^2$

$S_{пов} = 6 \cdot 16$

$S_{пов} = 96 \text{ см}^2$

Ответ: $96 \text{ см}^2$

27. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рисунок 41):

a) $AB_1 || (D_1DC)$;

б) $A_1D_1 \perp C_1D$;

в) $AB_1C_1D$ - прямоугольник;

г) диагональные сечения равны.

Рисунок 41

а) $AB_1 || (D_1DC)$

Решение

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются прямоугольниками. Противоположные грани параллельны.

Грань $ABB_1A_1$ является одной из боковых граней параллелепипеда.

Грань $DCC_1D_1$ является противоположной ей боковой гранью. Следовательно, плоскость, содержащая грань $ABB_1A_1$, параллельна плоскости, содержащей грань $DCC_1D_1$.

Плоскость $(D_1DC)$ по определению точек $D_1$, $D$, $C$ является плоскостью грани $DCC_1D_1$.

Линия $AB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

Согласно теореме о параллельности прямой и плоскости: если плоскость содержит прямую и параллельна другой плоскости (и прямая не лежит в этой другой плоскости), то прямая параллельна этой другой плоскости.

Таким образом, так как плоскость $ABB_1A_1$ параллельна плоскости $(D_1DC)$, и прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, то прямая $AB_1$ параллельна плоскости $(D_1DC)$.

Ответ: Доказано.

б) $A_1D_1 \perp C_1D$

Решение

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются прямоугольниками, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим ребро $AD$. Оно лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$ и в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$.

Поскольку $ABCD$ - прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, то есть $AD \perp DC$.

Поскольку $ADD_1A_1$ - прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, то есть $AD \perp DD_1$.

Прямые $DC$ и $DD_1$ лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$ и пересекаются в точке $D$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CDD_1C_1$.

Прямая $C_1D$ является диагональю прямоугольника $CDD_1C_1$ и, следовательно, лежит в плоскости $CDD_1C_1$.

Так как $AD$ перпендикулярна плоскости $CDD_1C_1$, то $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $C_1D$. Значит, $AD \perp C_1D$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны. Ребро $A_1D_1$ параллельно ребру $AD$. То есть, $A_1D_1 || AD$.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой.

Таким образом, так как $A_1D_1 || AD$ и $AD \perp C_1D$, то $A_1D_1 \perp C_1D$.

Ответ: Доказано.

в) $AB_1C_1D$ - прямоугольник

Решение

Рассмотрим четырёхугольник $AB_1C_1D$. Чтобы доказать, что он является прямоугольником, достаточно показать, что это параллелограмм с одним прямым углом.

1. Докажем, что $AB_1C_1D$ - параллелограмм.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются прямоугольниками. Следовательно, $ABCD$ - прямоугольник, и $BCC_1B_1$ - прямоугольник.

Из свойств прямоугольника $ABCD$ следует, что $AD || BC$ и $AD = BC$.

Из свойств прямоугольника $BCC_1B_1$ следует, что $B_1C_1 || BC$ и $B_1C_1 = BC$.

Из этих двух утверждений следует, что $AD || B_1C_1$ и $AD = B_1C_1$.

Поскольку в четырёхугольнике $AB_1C_1D$ две противоположные стороны ($AD$ и $B_1C_1$) параллельны и равны, этот четырёхугольник является параллелограммом.

2. Докажем, что у параллелограмма $AB_1C_1D$ есть прямой угол.

Рассмотрим угол $ADC_1$.

В пункте б) данной задачи мы доказали, что прямая $AD$ перпендикулярна прямой $C_1D$. Это означает, что угол между сторонами $AD$ и $C_1D$ четырёхугольника $AB_1C_1D$ равен $90^\circ$.

Поскольку $AB_1C_1D$ является параллелограммом и имеет прямой угол, он является прямоугольником.

Ответ: Доказано.

г) диагональные сечения равны

Решение

В контексте прямоугольного параллелепипеда под «диагональными сечениями», которые всегда равны, обычно подразумевают сечения, проходящие через диагональ основания и соответствующие боковые рёбра. Это сечения $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

1. Рассмотрим диагональное сечение $ACC_1A_1$.

Это сечение проходит через диагональ основания $AC$ и боковые рёбра $AA_1$ и $CC_1$. Поскольку боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания, то $AA_1 \perp AC$. Следовательно, $ACC_1A_1$ является прямоугольником.

Стороны этого прямоугольника: $AA_1$ (высота параллелепипеда) и $AC$ (диагональ основания $ABCD$). Длину диагонали $AC$ можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$.

2. Рассмотрим диагональное сечение $BDD_1B_1$.

Это сечение проходит через диагональ основания $BD$ и боковые рёбра $BB_1$ и $DD_1$. Аналогично, $BDD_1B_1$ является прямоугольником.

Стороны этого прямоугольника: $BB_1$ (высота параллелепипеда) и $BD$ (диагональ основания $ABCD$). Длину диагонали $BD$ можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2}$.

3. Сравнение сечений.

В прямоугольном параллелепипеде все боковые рёбра равны. Следовательно, $AA_1 = BB_1$.

В прямоугольном основании $ABCD$ диагонали равны. Следовательно, $AC = BD$.

Поскольку прямоугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ имеют равные соответствующие стороны ($AA_1=BB_1$ и $AC=BD$), они конгруэнтны, а значит, равны по площади и форме.

Следует отметить, что существуют и другие типы диагональных сечений, например, $AB_1C_1D$ (доказанный в пункте в)), которые в общем случае не обязательно равны сечениям $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$, если параллелепипед не является кубом.

Ответ: Доказано.

28. Может ли диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда являться квадратом? Если может, то укажите, при каком условии.

Решение

Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда – это плоскость, проходящая через два противоположных ребра (например, ребро нижней грани и соответствующее ему параллельное ребро верхней грани) или через две противоположные диагонали параллельных граней. В любом случае, такое сечение в прямоугольном параллелепипеде всегда является прямоугольником.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, где $a$ и $b$ — длины сторон основания, а $c$ — высота параллелепипеда.

Рассмотрим одно из диагональных сечений. Его сторонами будут:
1. Высота параллелепипеда, равная $c$.
2. Диагональ основания параллелепипеда. Если стороны основания равны $a$ и $b$, то по теореме Пифагора длина диагонали основания $d_{осн}$ будет равна $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Таким образом, диагональное сечение является прямоугольником со сторонами $c$ и $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Для того чтобы этот прямоугольник был квадратом, его стороны должны быть равны. Следовательно, высота параллелепипеда $c$ должна быть равна длине диагонали его основания $d_{осн}$.

Математически это условие выражается как:
$c = d_{осн}$
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Ответ:

Да, диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда может являться квадратом. Это происходит при условии, что высота параллелепипеда равна длине диагонали его основания ($c = \sqrt{a^2 + b^2}$).

29. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 14 см, а его основанием является квадрат площадью 144 см². Найдите длину диагонали параллелепипеда.

Дано:

высота прямоугольного параллелепипеда ($h$) = 14 см

основание - квадрат

площадь основания ($S_{осн}$) = 144 см$^2$

Перевод в СИ:

$h = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$S_{осн} = 144 \text{ см}^2 = 0.0144 \text{ м}^2$

Найти:

длина диагонали параллелепипеда ($D$)

Решение:

обозначим сторону квадратного основания как $a$. площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$.

нам дана площадь основания $S_{осн} = 144 \text{ см}^2$. используя это, найдем сторону $a$:

$a^2 = 144 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{144 \text{ см}^2}$

$a = 12 \text{ см}$

таким образом, прямоугольный параллелепипед имеет измерения: длина $l = 12 \text{ см}$, ширина $w = 12 \text{ см}$ (поскольку основание - квадрат) и высота $h = 14 \text{ см}$.

длина диагонали прямоугольного параллелепипеда $D$ вычисляется по формуле:

$D = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$

подставляем найденные значения:

$D = \sqrt{12^2 + 12^2 + 14^2}$

$D = \sqrt{144 + 144 + 196}$

$D = \sqrt{288 + 196}$

$D = \sqrt{484}$

вычисляем квадратный корень:

$D = 22 \text{ см}$

Ответ:

длина диагонали параллелепипеда равна 22 см.

30. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 24 см и 10 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол, равный $45^\circ$. Найдите боковое ребро этого параллелепипеда.

Дано:

Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда: $a = 24 \text{ см}$
$b = 10 \text{ см}$
Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$
$b = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$
$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Боковое ребро (высоту) $h$ параллелепипеда.

Решение:

1. Для начала найдем длину диагонали основания прямоугольного параллелепипеда. Основание является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания ($d_{осн}$) можно найти по теореме Пифагора: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$
$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$
Подставляем заданные значения: $d_{осн} = \sqrt{(24 \text{ см})^2 + (10 \text{ см})^2}$
$d_{осн} = \sqrt{576 \text{ см}^2 + 100 \text{ см}^2}$
$d_{осн} = \sqrt{676 \text{ см}^2}$
$d_{осн} = 26 \text{ см}$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образован диагональю параллелепипеда ($D$), диагональю основания ($d_{осн}$) и боковым ребром (высотой) параллелепипеда ($h$). В этом треугольнике боковое ребро $h$ является катетом, диагональ основания $d_{осн}$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$, а диагональ параллелепипеда $D$ является гипотенузой.

3. Угол $\alpha = 45^\circ$ - это угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания (то есть между диагональю параллелепипеда и диагональю основания). Воспользуемся определением тангенса для нахождения бокового ребра: $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$
В нашем случае: $\tan(\alpha) = \frac{h}{d_{осн}}$
Выразим $h$: $h = d_{осн} \cdot \tan(\alpha)$
Подставляем значения $d_{осн} = 26 \text{ см}$ и $\alpha = 45^\circ$: $h = 26 \text{ см} \cdot \tan(45^\circ)$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$: $h = 26 \text{ см} \cdot 1$
$h = 26 \text{ см}$

Ответ:

Боковое ребро параллелепипеда равно $26 \text{ см}$.

31. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 16 см и 12 см, а площадь его диагонального сечения равна 200 $см^2$. Найдите высоту параллелепипеда.

Дано:

сторона основания $a = 16$ см
сторона основания $b = 12$ см
площадь диагонального сечения $S_{diag} = 200$ см$^2$

Перевод в СИ:

$a = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$S_{diag} = 200 \text{ см}^2 = 0.02 \text{ м}^2$

Найти:

высота параллелепипеда $h$

Решение:

1. Основание прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником. Диагональ основания $d$ можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ $d = \sqrt{(16 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2}$ $d = \sqrt{256 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2}$ $d = \sqrt{400 \text{ см}^2}$ $d = 20 \text{ см}$

2. Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда представляет собой прямоугольник. Одна из его сторон — это диагональ основания $d$, а другая — это высота параллелепипеда $h$. Площадь диагонального сечения $S_{diag}$ равна произведению этих сторон: $S_{diag} = d \cdot h$

3. Выразим высоту $h$ из формулы площади диагонального сечения: $h = \frac{S_{diag}}{d}$ $h = \frac{200 \text{ см}^2}{20 \text{ см}}$ $h = 10 \text{ см}$

Ответ: $10$ см

32. Нарисуйте развертку поверхности:

а) правильного тетраэдра, ребро которого равно $2 \text{ см}$;

б) прямоугольного параллелепипеда с измерениями $1 \text{ см}$, $2 \text{ см}$, $3 \text{ см}$.

Дано

а) Правильный тетраэдр, ребро которого $a = 2 \text{ см}$.

б) Прямоугольный параллелепипед с измерениями $l = 1 \text{ см}$, $w = 2 \text{ см}$, $h = 3 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

а) $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

б) $l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$, $w = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$, $h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$.

Найти:

Развертку поверхности каждой из фигур.

Решение

Задача подразумевает графическое построение разверток. Так как я являюсь текстовым искусственным интеллектом, я могу предоставить подробное текстовое описание того, как выглядят эти развертки, и как их можно построить.

а) правильного тетраэдра, ребро которого равно 2 см;

Правильный тетраэдр является многогранником, все четыре грани которого представляют собой одинаковые правильные треугольники (в данном случае, равносторонние треугольники). Развертка тетраэдра состоит из этих четырех равносторонних треугольников.

Для построения развертки:

1. Начертите один равносторонний треугольник со стороной $a = 2 \text{ см}$. Этот треугольник будет служить основанием тетраэдра в развертке.

2. К каждой из трех сторон этого центрального треугольника пристройте еще по одному равностороннему треугольнику с той же стороной $a = 2 \text{ см}$. Каждый из этих трех треугольников должен быть соединен с центральным треугольником по одной из его сторон.

3. В результате вы получите фигуру, состоящую из четырех равносторонних треугольников, расположенных таким образом, что один центральный треугольник окружен тремя другими. Когда эта фигура будет сложена по линиям соединения, три внешних треугольника сойдутся в одной точке, образуя вершину тетраэдра, а их основания совпадут с ребрами центрального треугольника.

Ответ: Развертка представляет собой фигуру из четырех равносторонних треугольников со стороной $2 \text{ см}$, расположенных так, что один треугольник является центральным, а три других примыкают к его сторонам.

б) прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 см, 2 см, 3 см.

Прямоугольный параллелепипед (кубоид) имеет шесть прямоугольных граней. В данном случае, измерения параллелепипеда: длина $l = 1 \text{ см}$, ширина $w = 2 \text{ см}$ и высота $h = 3 \text{ см}$. Это означает, что параллелепипед имеет:

• Две грани размером $l \times w = 1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ (основания).

• Две грани размером $l \times h = 1 \text{ см} \times 3 \text{ см}$ (боковые грани).

• Две грани размером $w \times h = 2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$ (боковые грани).

Для построения развертки прямоугольного параллелепипеда существует множество вариантов, но наиболее распространенным является "крестообразная" развертка:

1. Начертите центральную "ленту" из четырех прямоугольников, которые будут представлять собой боковые грани, развернутые вокруг одного из оснований. Выберем высоту $h = 3 \text{ см}$ как общую сторону для этих прямоугольников. Последовательность прямоугольников может быть такой: $1 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $1 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$. Эти четыре прямоугольника соединяются друг с другом по их $3 \text{ см}$ сторонам, образуя одну длинную полосу размером $(1+2+1+2) \text{ см} \times 3 \text{ см} = 6 \text{ см} \times 3 \text{ см}$.

2. Теперь необходимо добавить две грани-основания размером $1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$. Эти грани присоединяются к одному из прямоугольников в "ленте". Например, вы можете присоединить одну грань $1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ к $2 \text{ см}$ стороне второго прямоугольника в ленте (который имеет размеры $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$), расположив ее "над" лентой. Другую грань $1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ присоедините к $2 \text{ см}$ стороне четвертого прямоугольника в ленте (также $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$), расположив ее "под" лентой.

3. Полученная развертка будет напоминать крест или букву "Т", где центральная полоса из четырех прямоугольников является "телом" креста, а два прямоугольника $1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ образуют "рукава" или "перекладины" креста.

Ответ: Развертка состоит из шести прямоугольников: двух $1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$, двух $1 \text{ см} \times 3 \text{ см}$ и двух $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$. Одна из распространенных конфигураций развертки представляет собой центральную полосу из четырех боковых граней ($1 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $1 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $2 \text{ см} \times 3 \text{ см}$), к которой присоединены две грани-основания ($1 \text{ см} \times 2 \text{ см}$), формируя крестообразную форму.

33. a) Какое наименьшее число граней может иметь призма?

б) Какой $n$-угольник является основанием призмы, у которой 10 вершин?

a) Какое наименьшее число граней может иметь призма?

Призма — это многогранник, у которого два основания (нижнее и верхнее) являются равными многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях, а боковые грани являются параллелограммами. Количество граней призмы определяется количеством сторон многоугольника, лежащего в основании.

Наименьшее число сторон, которое может иметь многоугольник, это 3 (треугольник). Если основанием призмы является треугольник, то у нее будет 3 боковые грани (по числу сторон основания).

Таким образом, общее количество граней призмы складывается из двух оснований и количества боковых граней. Если $n$ — количество сторон многоугольника в основании, то количество граней ($Г$) призмы выражается формулой: $Г = 2 + n$.

Для наименьшего числа граней, возьмем $n=3$ (треугольник):

$Г = 2 + 3 = 5$.

Ответ: 5 граней.

б) Какой n-угольник является основанием призмы, у которой 10 вершин?

Дано:

число вершин призмы ($V$) = 10

Найти:

количество сторон многоугольника в основании ($n$), то есть тип $n$-угольника.

Решение:

Призма имеет два основания, каждое из которых представляет собой один и тот же $n$-угольник. Количество вершин в каждом $n$-угольнике равно $n$. Поскольку призма состоит из двух таких оснований (верхнего и нижнего), общее количество вершин призмы ($V$) вдвое больше количества вершин одного основания.

Формула для определения количества вершин призмы: $V = 2 \times n$.

Из условия задачи известно, что призма имеет 10 вершин, то есть $V = 10$. Подставим это значение в формулу:

$10 = 2n$

Чтобы найти значение $n$, разделим обе части уравнения на 2:

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Таким образом, основанием данной призмы является многоугольник с пятью сторонами, то есть пятиугольник.

Ответ: Пятиугольник.

34. Укажите верные утверждения:
а) основания призмы равны;
б) грани призмы равны;
в) все боковые грани призмы являются параллелограммами;
г) все грани призмы являются параллелограммами;
д) все боковые ребра параллельны между собой.

а) основания призмы равны; Основания призмы по определению являются конгруэнтными многоугольниками, то есть они равны по форме и размеру. Ответ: Верно.

б) грани призмы равны; Грани призмы включают два основания и боковые грани. Основания призмы равны между собой, но боковые грани, хотя и являются параллелограммами, не обязательно равны друг другу или основаниям. Например, в треугольной призме боковые грани могут быть разными по размеру, если стороны основания имеют разную длину. Также боковые грани, как правило, не равны основаниям. Ответ: Неверно.

в) все боковые грани призмы являются параллелограммами; По определению, боковые грани призмы соединяют соответствующие стороны оснований и являются параллелограммами. Это фундаментальное свойство призмы. Ответ: Верно.

г) все грани призмы являются параллелограммами; Это утверждение включает в себя как боковые грани, так и основания. Хотя боковые грани призмы всегда являются параллелограммами, основания призмы могут быть любыми многоугольниками (например, треугольниками, пятиугольниками, и т.д.), которые не являются параллелограммами. Только в частном случае, когда основание призмы является параллелограммом, и призма сама является параллелепипедом, все ее грани будут параллелограммами. В общем случае это не так. Ответ: Неверно.

д) все боковые ребра параллельны между собой. По определению, призма - это многогранник, у которого два основания лежат в параллельных плоскостях, а боковые рёбра параллельны друг другу. Это одно из основных свойств призмы. Ответ: Верно.