Страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

44. Докажите, что:

а) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен полусумме квадратов трех диагоналей граней, выходящих из одной вершины;

б) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме ортогональных проекций трех его ребер, выходящих из одной вершины, на диагональ параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями (длинами рёбер), исходящих из одной вершины, равными $a$, $b$, $c$.

Найти:

Доказать утверждения а) и б).

Решение:

а) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен полусумме квадратов трех диагоналей граней, выходящих из одной вершины;

Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$, $c$.

Квадрат длины пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда определяется по теореме Пифагора, примененной дважды (сначала для диагонали основания, затем для диагонали параллелепипеда): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Из одной вершины выходят три грани. Каждая из этих граней является прямоугольником. Диагонали этих граней могут быть найдены по теореме Пифагора:

• Диагональ грани с рёбрами $a$ и $b$: $d_{ab}^2 = a^2 + b^2$.

• Диагональ грани с рёбрами $a$ и $c$: $d_{ac}^2 = a^2 + c^2$.

• Диагональ грани с рёбрами $b$ и $c$: $d_{bc}^2 = b^2 + c^2$.

Рассмотрим полусумму квадратов этих трёх диагоналей граней:

$\frac{1}{2}(d_{ab}^2 + d_{ac}^2 + d_{bc}^2) = \frac{1}{2}((a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2))$

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

$\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2)$

Выносим общий множитель 2:

$\frac{1}{2} \cdot 2(a^2 + b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2$.

Таким образом, мы получили, что полусумма квадратов диагоналей граней равна $a^2 + b^2 + c^2$, что, как известно, является квадратом длины пространственной диагонали $d$ параллелепипеда ($d^2 = a^2 + b^2 + c^2$).

Следовательно, $d^2 = \frac{1}{2}(d_{ab}^2 + d_{ac}^2 + d_{bc}^2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

б) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме ортогональных проекций трех его ребер, выходящих из одной вершины, на диагональ параллелепипеда.

Расположим одну из вершин прямоугольного параллелепипеда в начале координат $(0,0,0)$ декартовой системы координат.

Пусть длины рёбер, выходящих из этой вершины, равны $a$, $b$, $c$ и направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Тогда векторы этих рёбер будут:

• $\vec{r_a} = (a, 0, 0)$

• $\vec{r_b} = (0, b, 0)$

• $\vec{r_c} = (0, 0, c)$

Вектор пространственной диагонали $\vec{d}$, выходящий из той же вершины, будет суммой этих векторов (по правилу параллелепипеда):

$\vec{d} = \vec{r_a} + \vec{r_b} + \vec{r_c} = (a, b, c)$.

Длина этой диагонали (её модуль): $|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Ортогональная проекция вектора $\vec{v}$ на вектор $\vec{u}$ (обозначим её $P_{\vec{u}}\vec{v}$) вычисляется по формуле:

$P_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|}$.

Вычислим ортогональные проекции каждого из трёх рёбер $\vec{r_a}$, $\vec{r_b}$, $\vec{r_c}$ на вектор диагонали $\vec{d}$:

• Проекция ребра $\vec{r_a}$ на $\vec{d}$ (обозначим $P_a$):

  $P_a = \frac{\vec{r_a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(a, 0, 0) \cdot (a, b, c)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

• Проекция ребра $\vec{r_b}$ на $\vec{d}$ (обозначим $P_b$):

  $P_b = \frac{\vec{r_b} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(0, b, 0) \cdot (a, b, c)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{0 \cdot a + b \cdot b + 0 \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

• Проекция ребра $\vec{r_c}$ на $\vec{d}$ (обозначим $P_c$):

  $P_c = \frac{\vec{r_c} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(0, 0, c) \cdot (a, b, c)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{0 \cdot a + 0 \cdot b + c \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Теперь просуммируем эти ортогональные проекции:

$P_a + P_b + P_c = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} + \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} + \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Объединяем дроби с общим знаменателем:

$P_a + P_b + P_c = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Заметим, что числитель $a^2 + b^2 + c^2$ можно представить как $(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2$. Тогда:

$P_a + P_b + P_c = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Мы получили, что сумма ортогональных проекций трёх рёбер на диагональ равна $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, что в точности соответствует длине диагонали $|\vec{d}|$.

Следовательно, $|\vec{d}| = P_a + P_b + P_c$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

45. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 23 см и 40 см. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние между большей по площади боковой гранью и противолежащей ей боковым ребром призмы.

Дано:

Длины сторон перпендикулярного сечения (расстояния между боковыми ребрами):

$a = 37 \text{ см}$

$b = 23 \text{ см}$

$c = 40 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 37 \text{ см} = 0.37 \text{ м}$

$b = 23 \text{ см} = 0.23 \text{ м}$

$c = 40 \text{ см} = 0.40 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между большей по площади боковой гранью и противолежащим ей боковым ребром призмы ($h_c$).

Решение:

Расстояния между боковыми ребрами наклонной призмы являются сторонами треугольника, который образует перпендикулярное сечение призмы. Пусть стороны этого треугольника равны $a = 37 \text{ см}$, $b = 23 \text{ см}$ и $c = 40 \text{ см}$.

Площадь боковой грани призмы определяется как произведение длины бокового ребра на соответствующую сторону перпендикулярного сечения. Так как длина бокового ребра одинакова для всех граней, наибольшая по площади боковая грань будет та, которой соответствует наибольшая сторона перпендикулярного сечения. В данном случае, наибольшая сторона $c = 40 \text{ см}$.

Расстояние между боковой гранью и противолежащим ей ребром равно высоте перпендикулярного сечения, опущенной на сторону, соответствующую данной грани. Таким образом, нам необходимо найти высоту $h_c$, опущенную на сторону $c = 40 \text{ см}$ в треугольнике с заданными сторонами.

Для начала найдем полупериметр $p$ перпендикулярного сечения:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{37 + 23 + 40}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}$

Теперь найдем площадь $S$ перпендикулярного сечения по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{50(50-37)(50-23)(50-40)}$

$S = \sqrt{50 \cdot 13 \cdot 27 \cdot 10}$

$S = \sqrt{500 \cdot 13 \cdot 27}$

$S = \sqrt{5 \cdot 100 \cdot 13 \cdot 27}$

$S = 10 \sqrt{5 \cdot 13 \cdot 27}$

$S = 10 \sqrt{65 \cdot 27}$

$S = 10 \sqrt{1755} \text{ см}^2$

Также площадь треугольника может быть выражена через сторону и высоту, опущенную на эту сторону: $S = \frac{1}{2} c h_c$.

Отсюда выразим $h_c$:

$h_c = \frac{2S}{c}$

$h_c = \frac{2 \cdot 10 \sqrt{1755}}{40}$

$h_c = \frac{20 \sqrt{1755}}{40}$

$h_c = \frac{\sqrt{1755}}{2}$

Вычислим значение:

$\sqrt{1755} \approx 41.8927$

$h_c \approx \frac{41.8927}{2} \approx 20.94635 \text{ см}$

Округлим результат до 0,1 см:

$h_c \approx 20.9 \text{ см}$

Ответ: 20.9 см

46. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 дм, а ее высота $\sqrt{3}$ дм. Какую наименьшую площадь может иметь сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону одного основания и имеющей хотя бы одну общую точку с другим основанием?

Дано:

правильная треугольная призма

сторона основания $a = 2 \text{ дм}$

высота призмы $h = \sqrt{3} \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$h = \sqrt{3} \text{ дм} = \sqrt{3} \cdot 0.1 \text{ м}$

Найти:

наименьшая площадь сечения $S_{min}$

Решение:

Пусть нижнее основание призмы - правильный треугольник ABC, а верхнее основание - A'B'C'. Боковые ребра AA', BB', CC' перпендикулярны плоскостям оснований и равны высоте призмы $h = \sqrt{3} \text{ дм}$. Сторона основания $a = 2 \text{ дм}$.

Сечение проходит через одну сторону одного основания, например, через сторону AB нижнего основания. Сечение должно иметь хотя бы одну общую точку с другим основанием (верхним).

Возможные виды сечений, проходящих через сторону AB и имеющих общие точки с верхним основанием, это прямоугольник (боковая грань) или треугольник.

1. Если плоскость сечения проходит через сторону AB и параллельна боковому ребру (например, перпендикулярна плоскостям оснований), то сечение является прямоугольником. В данном случае, если плоскость содержит сторону AB и проходит через ребро A'B', то сечение - это боковая грань ABA'B'.

Площадь боковой грани: $S_{боковой\ грани} = AB \cdot AA' = a \cdot h = 2 \text{ дм} \cdot \sqrt{3} \text{ дм} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

2. Если плоскость сечения проходит через сторону AB и одну из вершин верхнего основания, то сечение является треугольником. Чтобы площадь сечения была наименьшей, высота этого треугольника должна быть наименьшей. Рассмотривая вершины A', B', C' верхнего основания, вершина C' является "наиболее удаленной" от стороны AB в плоскости основания, если смотреть на проекцию, но именно это положение даст наименьшую высоту для треугольного сечения, так как оно максимально "наклонено".

Рассмотрим сечение - треугольник ABC'. Основание этого треугольника - сторона AB, длина которой $a = 2 \text{ дм}$.

Для нахождения высоты треугольника ABC', опустим перпендикуляр из вершины C' на прямую AB. Пусть M - середина стороны AB. В правильном треугольнике ABC, медиана CM является также высотой, то есть $CM \perp AB$.

Длина $CM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ дм}$.

Поскольку призма правильная, ребро CC' перпендикулярно плоскости основания ABC. То есть $CC' \perp CM$ и $CC' \perp AB$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $CM \perp AB$ (проекция $C'M$ на плоскость основания) и $CC' \perp CM$, то $C'M \perp AB$. Следовательно, отрезок $C'M$ является высотой треугольника ABC' к основанию AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CC'M. Его катеты: $CC' = h = \sqrt{3} \text{ дм}$ и $CM = \sqrt{3} \text{ дм}$.

Гипотенуза $C'M = \sqrt{CC'^2 + CM^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \text{ дм}$.

Площадь треугольника ABC': $S_{ABC'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C'M = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ дм} \cdot \sqrt{6} \text{ дм} = \sqrt{6} \text{ дм}^2$.

Сравним площади двух возможных сечений:

$S_{боковой\ грани} = 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464 \text{ дм}^2$

$S_{ABC'} = \sqrt{6} \approx 2.449 \text{ дм}^2$

Наименьшая из этих площадей - $S_{ABC'} = \sqrt{6} \text{ дм}^2$. Любое трапециевидное сечение, проходящее через AB и пересекающее верхнее основание, будет иметь высоту, большую или равную $C'M$, и, следовательно, большую или равную площадь. Таким образом, наименьшая площадь сечения достигается при образовании треугольника ABC'.

Ответ:

$\sqrt{6} \text{ дм}^2$

47. Сторона основания и высота правильной четырехугольной призмы равны $a$ и $h$ соответственно. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и наклоненную к нему под углом $\alpha$ ($\alpha$ – переменная величина).

Дано:

Сторона основания правильной четырехугольной призмы: $a$
Высота призмы: $h$
Угол наклона секущей плоскости к основанию: $\alpha$

Данные представлены в символьном виде. Параметры $a$ и $h$ выражены в единицах длины (например, метрах), а угол $\alpha$ в радианах или градусах. Перевод в систему СИ не требуется, поскольку значения не числовые.

Найти:

Площадь сечения призмы: $S_{сеч}$

Решение:

Правильная четырехугольная призма имеет в основании квадрат со стороной $a$. Боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основанию. Высота призмы равна $h$.

Секущая плоскость проходит через одну из сторон основания, пусть это будет сторона $AB$. Длина этой стороны равна $a$. Сечение, образованное такой плоскостью, будет прямоугольником. Одна из сторон этого прямоугольника совпадает со стороной основания $AB$, т.е. имеет длину $a$.

Пусть $AB$ - сторона нижнего основания. Рассмотрим боковую грань, примыкающую к $AB$, например, $BCC'B'$. Линия $BC$ лежит в плоскости основания, перпендикулярна $AB$, и ее длина равна $a$.

Пусть секущая плоскость пересекает ребро $CC'$ в точке $P$. Тогда $BP$ является второй стороной прямоугольного сечения, и $BP \perp AB$.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен $\alpha$. Этот угол измеряется между двумя линиями, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения ($AB$). Следовательно, угол между отрезком $BC$ (лежащим в плоскости основания) и отрезком $BP$ (лежащим в секущей плоскости) равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $B$, $C$ и $P$. Катет $BC$ лежит в плоскости основания и имеет длину $a$. Катет $PC$ - это высота точки $P$ над плоскостью основания. Гипотенуза $BP$ - это длина второй стороны сечения.

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{BC}{BP} = \frac{a}{BP}$. Таким образом, длина второй стороны сечения: $BP = \frac{a}{\cos \alpha} = a \sec \alpha$.

Высота точки $P$ над основанием определяется как: $\tan \alpha = \frac{PC}{BC} = \frac{PC}{a}$. Отсюда $PC = a \tan \alpha$.

Возможны два случая в зависимости от соотношения между $a, h$ и $\alpha$:

Случай 1: Плоскость полностью проходит через боковые грани.
Этот случай имеет место, если высота, на которую поднимается секущая плоскость на расстоянии $a$ от $AB$, не превышает высоту призмы $h$. То есть, точка $P$ находится на ребре $CC'$ (или ниже верхнего основания). Условие: $PC \le h \Rightarrow a \tan \alpha \le h$. В этом случае сечением является прямоугольник со сторонами $a$ и $a \sec \alpha$. Площадь сечения $S_{сеч} = a \cdot (a \sec \alpha) = a^2 \sec \alpha$.

Случай 2: Плоскость пересекает верхнее основание призмы.
Этот случай имеет место, если $a \tan \alpha > h$. Это означает, что секущая плоскость достигает высоты $h$ (уровня верхнего основания) на расстоянии от $AB$, меньшем чем $a$. Таким образом, сечение пересекает верхнее основание. Максимальная высота, которую может достичь сечение, составляет $h$. Пусть $y_{int}$ - расстояние от $AB$ в плоскости основания до линии пересечения секущей плоскости с верхним основанием. В прямоугольном треугольнике, где высота $h$ является противолежащим катетом, а $y_{int}$ - прилежащим, получаем: $\tan \alpha = \frac{h}{y_{int}}$. Отсюда $y_{int} = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$. Длина второй стороны сечения ($L_{сеч}$) - это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где один катет равен $h$ (высота призмы), а другой катет равен $y_{int}$ (проекция этой стороны на основание). $\sin \alpha = \frac{h}{L_{сеч}}$. Отсюда $L_{сеч} = \frac{h}{\sin \alpha} = h \csc \alpha$. Сечением в этом случае также является прямоугольник со сторонами $a$ и $h \csc \alpha$. Площадь сечения $S_{сеч} = a \cdot (h \csc \alpha) = ah \csc \alpha$.

Ответ:

Площадь сечения призмы определяется по формуле: $S_{сеч} = \begin{cases} a^2 \sec \alpha, & \text{если } a \tan \alpha \le h \\ ah \csc \alpha, & \text{если } a \tan \alpha > h \end{cases}$