Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

53. а) Большая диагональ основания правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а высота призмы равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.

б) Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равна 2 дм, а меньшая из диагоналей призмы равна 4 дм (рисунок 47).

Рисунок 47

а) Большая диагональ основания правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а высота призмы равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.

Дано:

$d_1 = 8 \text{ см}$ (большая диагональ основания)

$h = 2\sqrt{3} \text{ см}$ (высота призмы)

Перевод в СИ:

$d_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$h = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Основанием правильной шестиугольной призмы является правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Пусть $a$ - сторона основания.

$d_1 = 2a$

$8 \text{ см} = 2a$

$a = 4 \text{ см}$

Площадь основания правильного шестиугольника ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(4 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 \text{ см}^2 = 24\sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания правильного шестиугольника ($P_{осн}$) равен:

$P_{осн} = 6a$

$P_{осн} = 6 \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 24 \text{ см} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot 24\sqrt{3} \text{ см}^2 + 48\sqrt{3} \text{ см}^2 = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 + 48\sqrt{3} \text{ см}^2 = 96\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $96\sqrt{3} \text{ см}^2$

б) Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равна 2 дм, а меньшая из диагоналей призмы равна 4 дм (рисунок 47).

Дано:

$a = 2 \text{ дм}$ (сторона основания)

$D_{м} = 4 \text{ дм}$ (меньшая из диагоналей призмы)

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$D_{м} = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Меньшая диагональ призмы соединяет вершины, не лежащие в одной грани и не противолежащие друг другу через центр основания призмы. Она образует прямоугольный треугольник с высотой призмы ($h$) и малой диагональю основания ($d_2$).

Малая диагональ правильного шестиугольника ($d_2$) вычисляется по формуле:

$d_2 = a\sqrt{3}$

$d_2 = 2 \text{ дм} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ дм}$

Из прямоугольного треугольника, образованного меньшей диагональю призмы, высотой призмы и малой диагональю основания, по теореме Пифагора:

$D_{м}^2 = h^2 + d_2^2$

$(4 \text{ дм})^2 = h^2 + (2\sqrt{3} \text{ дм})^2$

$16 \text{ дм}^2 = h^2 + (4 \cdot 3) \text{ дм}^2$

$16 \text{ дм}^2 = h^2 + 12 \text{ дм}^2$

$h^2 = 16 - 12 = 4 \text{ дм}^2$

$h = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$

Площадь основания правильного шестиугольника ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2 \text{ дм})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \text{ дм}^2 = 6\sqrt{3} \text{ дм}^2$

Периметр основания правильного шестиугольника ($P_{осн}$):

$P_{осн} = 6a$

$P_{осн} = 6 \cdot 2 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 12 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^2$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$):

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 24 \text{ дм}^2 = 12\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 24 \text{ дм}^2 = (24 + 12\sqrt{3}) \text{ дм}^2$

Ответ: $(24 + 12\sqrt{3}) \text{ дм}^2$

54. a) В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с углом $45^\circ$, одно основание которой на 8 см больше другого, а ее средняя линия равна 7 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее высота равна 5 см.

б) Основание прямой призмы – равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 2 см. Диагональ большей боковой грани составляет с ее боковым ребром угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности призмы, если известно, что в ее основание можно вписать окружность.

а)

Дано:

Призма прямая.

Основание: равнобедренная трапеция.

Угол при основании трапеции $\alpha = 45^\circ$.

Разность оснований $a - b = 8$ см.

Средняя линия трапеции $m = 7$ см.

Высота призмы $H = 5$ см.

Перевод в СИ:

$a - b = 0.08$ м

$m = 0.07$ м

$H = 0.05$ м

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $H$ — высота призмы.

Найдем длины оснований трапеции. Пусть $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание. Средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$.

Известно, что $m = 7$ см, значит $a+b = 2m = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Также дано, что $a-b = 8$ см.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ a - b = 8 \end{cases}$

Сложим уравнения: $(a+b) + (a-b) = 14 + 8 \Rightarrow 2a = 22 \Rightarrow a = 11$ см.

Подставим $a=11$ в первое уравнение: $11+b = 14 \Rightarrow b = 3$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. В равнобедренной трапеции отрезки на большем основании, отсекаемые высотами, равны $x = \frac{a-b}{2}$.

$x = \frac{11-3}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Так как угол при основании трапеции равен $45^\circ$, то в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком $x$, катеты равны (так как угол $45^\circ$): $h_{тр} = x = 4$ см.

Найдем площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = m \cdot h_{тр} = 7 \cdot 4 = 28$ см$^2$.

Найдем боковую сторону трапеции $c$. В прямоугольном треугольнике с катетами $h_{тр}$ и $x$, и гипотенузой $c$, $\sin 45^\circ = \frac{h_{тр}}{c}$.

$c = \frac{h_{тр}}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Найдем периметр основания $P_{осн}$: $P_{осн} = a + b + 2c = 14 + 2 \cdot 4\sqrt{2} = (14 + 8\sqrt{2})$ см.

Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (14 + 8\sqrt{2}) \cdot 5 = (70 + 40\sqrt{2})$ см$^2$.

Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 28 + (70 + 40\sqrt{2}) = 56 + 70 + 40\sqrt{2} = (126 + 40\sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $(126 + 40\sqrt{2})$ см$^2$.

б)

Дано:

Призма прямая.

Основание: равнобедренная трапеция.

Основания трапеции: $a = 8$ см, $b = 2$ см.

Угол между диагональю большей боковой грани и ее боковым ребром $\gamma = 45^\circ$.

В основание можно вписать окружность.

Перевод в СИ:

$a = 0.08$ м

$b = 0.02$ м

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $H$ — высота призмы.

Найдем боковую сторону трапеции $c$. Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме ее боковых сторон. Для равнобедренной трапеции это означает $a+b = 2c$.

$8+2 = 2c \Rightarrow 10 = 2c \Rightarrow c = 5$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Отрезок на большем основании, отсекаемый высотой, равен $x = \frac{a-b}{2}$.

$x = \frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_{тр}$, отрезком $x$ и боковой стороной $c$, по теореме Пифагора: $h_{тр}^2 + x^2 = c^2$.

$h_{тр}^2 + 3^2 = 5^2$

$h_{тр}^2 + 9 = 25$

$h_{тр}^2 = 16 \Rightarrow h_{тр} = 4$ см.

Найдем площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{8+2}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см$^2$.

Найдем высоту призмы $H$. Большая боковая грань является прямоугольником со сторонами $a=8$ см (большее основание трапеции) и $H$ (высота призмы). Диагональ этой грани, ее основание $a$ и боковое ребро $H$ образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю и боковым ребром $H$ равен $45^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике катет $a$ противолежит этому углу, а катет $H$ прилежит к нему. Тогда $\tan 45^\circ = \frac{a}{H}$.

$1 = \frac{8}{H} \Rightarrow H = 8$ см.

Найдем периметр основания $P_{осн}$: $P_{осн} = a + b + 2c = 8 + 2 + 2 \cdot 5 = 10 + 10 = 20$ см.

Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 20 \cdot 8 = 160$ см$^2$.

Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 20 + 160 = 40 + 160 = 200$ см$^2$.

Ответ: $200$ см$^2$.

55. a) Расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см. Боковое ребро призмы равно 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

б) Сечение наклонной треугольной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, – равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро равно 5 см.

а)

Дано:

расстояния между параллельными прямыми, на которых лежат боковые ребра (стороны перпендикулярного сечения): $a_{сеч} = 2 \text{ см}$, $b_{сеч} = 3 \text{ см}$, $c_{сеч} = 4 \text{ см}$. длина бокового ребра: $L = 5 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a_{сеч} = 0.02 \text{ м}$ $b_{сеч} = 0.03 \text{ м}$ $c_{сеч} = 0.04 \text{ м}$ $L = 0.05 \text{ м}$

Найти:

площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ можно найти как произведение периметра ее перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ на длину бокового ребра $L$: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L$

перпендикулярное сечение представляет собой треугольник со сторонами $2 \text{ см}$, $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. найдем периметр перпендикулярного сечения: $P_{сеч} = a_{сеч} + b_{сеч} + c_{сеч} = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}$

теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 9 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$

Ответ: $45 \text{ см}^2$

б)

Дано:

сечение, перпендикулярное боковому ребру (нормальное сечение) — равнобедренный прямоугольный треугольник. площадь нормального сечения: $S_{сеч} = 8 \text{ см}^2$. длина бокового ребра: $L = 5 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$ $L = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L$, где $P_{сеч}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $L$ — длина бокового ребра.

перпендикулярное сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником. пусть длины его катетов равны $x$. площадь такого треугольника равна половине произведения катетов: $S_{сеч} = \frac{1}{2} x \cdot x = \frac{1}{2} x^2$

подставим известное значение площади: $8 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} x^2$ $x^2 = 16 \text{ см}^2$ $x = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

таким образом, катеты треугольника равны $4 \text{ см}$. гипотенуза $c$ равнобедренного прямоугольного треугольника равна $x\sqrt{2}$: $c = 4\sqrt{2} \text{ см}$

найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$: $P_{сеч} = x + x + c = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4\sqrt{2} \text{ см} = (8 + 4\sqrt{2}) \text{ см}$

теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L = (8 + 4\sqrt{2}) \text{ см} \cdot 5 \text{ см}$ $S_{бок} = (8 \cdot 5 + 4\sqrt{2} \cdot 5) \text{ см}^2 = (40 + 20\sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ: $(40 + 20\sqrt{2}) \text{ см}^2$

56. a) В прямом параллелепипеде стороны основания равны $5 \text{ м}$ и $3 \text{ м}$, меньшая диагональ основания равна $4 \text{ м}$, а меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда.

б) Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Площади диагональных сечений параллелепипеда равны $40 \text{ см}^2$ и $60 \text{ см}^2$, а его меньшая диагональ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

a) Дано:

Прямой параллелепипед

Стороны основания: $a = 5$ м, $b = 3$ м

Меньшая диагональ основания: $d_1 = 4$ м

Угол наклона меньшей диагонали параллелепипеда к основанию: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 5$ м

$b = 3$ м

$d_1 = 4$ м

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Меньшая диагональ $d_1$ связана со сторонами и углом $\theta$ между ними (угол, противолежащий меньшей диагонали) по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta$

$4^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos\theta$

$16 = 25 + 9 - 30 \cos\theta$

$16 = 34 - 30 \cos\theta$

$30 \cos\theta = 34 - 16$

$30 \cos\theta = 18$

$\cos\theta = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Найдем $\sin\theta$:

$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = ab \sin\theta = 5 \cdot 3 \cdot \frac{4}{5} = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$ м$^2$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю основания ($d_1$), высотой параллелепипеда ($h$) и меньшей диагональю параллелепипеда. Угол наклона этой диагонали к основанию равен $60^\circ$.

$\tan\alpha = \frac{h}{d_1}$

$h = d_1 \tan\alpha = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$ м

Периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(5+3) = 2 \cdot 8 = 16$ м

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 16 \cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ м$^2$

Площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 64\sqrt{3} = 24 + 64\sqrt{3}$ м$^2$

Ответ: $24 + 64\sqrt{3}$ м$^2$

б) Дано:

Прямой параллелепипед

Основание - ромб

Площади диагональных сечений: $S_{сеч1} = 40$ см$^2$, $S_{сеч2} = 60$ см$^2$

Угол наклона меньшей диагонали параллелепипеда к плоскости основания: $\beta = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$S_{сеч1} = 40 \text{ см}^2 = 0.004 \text{ м}^2$

$S_{сеч2} = 60 \text{ см}^2 = 0.006 \text{ м}^2$

$\beta = 45^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

Пусть $d_1$ и $d_2$ - диагонали основания ромба, а $h$ - высота параллелепипеда. Диагональные сечения представляют собой прямоугольники со сторонами $d_1$, $h$ и $d_2$, $h$.

Таким образом, имеем:

$d_1 h = S_{сеч1} = 40$ см$^2$

$d_2 h = S_{сеч2} = 60$ см$^2$

Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом $45^\circ$. Эта диагональ вместе с меньшей диагональю основания ($d_1$) и высотой параллелепипеда ($h$) образует прямоугольный треугольник.

$\tan\beta = \frac{h}{d_1}$

Так как $\beta = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$.

Следовательно, $h = d_1$.

Подставим $h=d_1$ в первое уравнение для площади сечения:

$d_1 \cdot d_1 = 40$ см$^2$

$d_1^2 = 40$ см$^2$

$d_1 = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см

Тогда высота $h = 2\sqrt{10}$ см.

Теперь найдем $d_2$ из второго уравнения:

$d_2 \cdot h = 60$ см$^2$

$d_2 \cdot (2\sqrt{10}) = 60$

$d_2 = \frac{60}{2\sqrt{10}} = \frac{30}{\sqrt{10}} = \frac{30\sqrt{10}}{10} = 3\sqrt{10}$ см

Площадь основания ромба $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{10}) \cdot (3\sqrt{10})$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$ см$^2$

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужен периметр основания. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения. По теореме Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a^2 = \left(\frac{2\sqrt{10}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2$

$a^2 = (\sqrt{10})^2 + \left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2 = 10 + \frac{9 \cdot 10}{4} = 10 + \frac{90}{4} = 10 + 22.5 = 32.5$

$a = \sqrt{32.5} = \sqrt{\frac{65}{2}} = \frac{\sqrt{130}}{2}$ см

Периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot \frac{\sqrt{130}}{2} = 2\sqrt{130}$ см

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (2\sqrt{130}) \cdot (2\sqrt{10})$

$S_{бок} = 4\sqrt{130 \cdot 10} = 4\sqrt{1300} = 4\sqrt{100 \cdot 13} = 4 \cdot 10\sqrt{13} = 40\sqrt{13}$ см$^2$

Площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 30 + 40\sqrt{13} = 60 + 40\sqrt{13}$ см$^2$

Ответ: $60 + 40\sqrt{13}$ см$^2$