Номер 56, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

56. a) В прямом параллелепипеде стороны основания равны $5 \text{ м}$ и $3 \text{ м}$, меньшая диагональ основания равна $4 \text{ м}$, а меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда.

б) Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Площади диагональных сечений параллелепипеда равны $40 \text{ см}^2$ и $60 \text{ см}^2$, а его меньшая диагональ наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

a) Дано:

Прямой параллелепипед

Стороны основания: $a = 5$ м, $b = 3$ м

Меньшая диагональ основания: $d_1 = 4$ м

Угол наклона меньшей диагонали параллелепипеда к основанию: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 5$ м

$b = 3$ м

$d_1 = 4$ м

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Меньшая диагональ $d_1$ связана со сторонами и углом $\theta$ между ними (угол, противолежащий меньшей диагонали) по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta$

$4^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos\theta$

$16 = 25 + 9 - 30 \cos\theta$

$16 = 34 - 30 \cos\theta$

$30 \cos\theta = 34 - 16$

$30 \cos\theta = 18$

$\cos\theta = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Найдем $\sin\theta$:

$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = ab \sin\theta = 5 \cdot 3 \cdot \frac{4}{5} = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$ м$^2$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю основания ($d_1$), высотой параллелепипеда ($h$) и меньшей диагональю параллелепипеда. Угол наклона этой диагонали к основанию равен $60^\circ$.

$\tan\alpha = \frac{h}{d_1}$

$h = d_1 \tan\alpha = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3}$ м

Периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(5+3) = 2 \cdot 8 = 16$ м

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 16 \cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ м$^2$

Площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 64\sqrt{3} = 24 + 64\sqrt{3}$ м$^2$

Ответ: $24 + 64\sqrt{3}$ м$^2$

б) Дано:

Прямой параллелепипед

Основание - ромб

Площади диагональных сечений: $S_{сеч1} = 40$ см$^2$, $S_{сеч2} = 60$ см$^2$

Угол наклона меньшей диагонали параллелепипеда к плоскости основания: $\beta = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$S_{сеч1} = 40 \text{ см}^2 = 0.004 \text{ м}^2$

$S_{сеч2} = 60 \text{ см}^2 = 0.006 \text{ м}^2$

$\beta = 45^\circ$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

Пусть $d_1$ и $d_2$ - диагонали основания ромба, а $h$ - высота параллелепипеда. Диагональные сечения представляют собой прямоугольники со сторонами $d_1$, $h$ и $d_2$, $h$.

Таким образом, имеем:

$d_1 h = S_{сеч1} = 40$ см$^2$

$d_2 h = S_{сеч2} = 60$ см$^2$

Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к основанию под углом $45^\circ$. Эта диагональ вместе с меньшей диагональю основания ($d_1$) и высотой параллелепипеда ($h$) образует прямоугольный треугольник.

$\tan\beta = \frac{h}{d_1}$

Так как $\beta = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$.

Следовательно, $h = d_1$.

Подставим $h=d_1$ в первое уравнение для площади сечения:

$d_1 \cdot d_1 = 40$ см$^2$

$d_1^2 = 40$ см$^2$

$d_1 = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см

Тогда высота $h = 2\sqrt{10}$ см.

Теперь найдем $d_2$ из второго уравнения:

$d_2 \cdot h = 60$ см$^2$

$d_2 \cdot (2\sqrt{10}) = 60$

$d_2 = \frac{60}{2\sqrt{10}} = \frac{30}{\sqrt{10}} = \frac{30\sqrt{10}}{10} = 3\sqrt{10}$ см

Площадь основания ромба $S_{осн}$:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{10}) \cdot (3\sqrt{10})$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30$ см$^2$

Для нахождения площади боковой поверхности нам нужен периметр основания. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения. По теореме Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a^2 = \left(\frac{2\sqrt{10}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2$

$a^2 = (\sqrt{10})^2 + \left(\frac{3\sqrt{10}}{2}\right)^2 = 10 + \frac{9 \cdot 10}{4} = 10 + \frac{90}{4} = 10 + 22.5 = 32.5$

$a = \sqrt{32.5} = \sqrt{\frac{65}{2}} = \frac{\sqrt{130}}{2}$ см

Периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot \frac{\sqrt{130}}{2} = 2\sqrt{130}$ см

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (2\sqrt{130}) \cdot (2\sqrt{10})$

$S_{бок} = 4\sqrt{130 \cdot 10} = 4\sqrt{1300} = 4\sqrt{100 \cdot 13} = 4 \cdot 10\sqrt{13} = 40\sqrt{13}$ см$^2$

Площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 30 + 40\sqrt{13} = 60 + 40\sqrt{13}$ см$^2$

Ответ: $60 + 40\sqrt{13}$ см$^2$