Номер 49, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

49. На рисунке 46 изображена развертка поверх-ности правильной треугольной призмы. Используя данные рисунка, найдите площадь полной по-верхности этой призмы.

4

$30^\circ$

Рисунок 46

Дано:

Развертка правильной треугольной призмы. На развертке изображен прямоугольный треугольник, образованный стороной основания призмы, высотой призмы и диагональю боковой грани. Длина диагонали боковой грани равна $4$. Угол между диагональю боковой грани и стороной основания равен $30^\circ$.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$).

Решение:

Пусть $a$ – длина стороны основания правильной треугольной призмы (сторона равностороннего треугольника), а $H$ – высота призмы.

Из развертки видно, что боковая грань призмы представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна $4$, и она образует угол $30^\circ$ со стороной основания ($a$).

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном стороной основания $a$, высотой призмы $H$ и диагональю боковой грани $d=4$:

Сторона основания $a$ является прилежащим катетом к углу $30^\circ$, а высота $H$ – противолежащим катетом.

$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$H = d \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Теперь найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$). Так как призма правильная, ее основанием является равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) состоит из трех одинаковых прямоугольников (боковых граней). Площадь одной боковой грани $S_{грани} = a \cdot H$.

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 2 = 12\sqrt{3}$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot (3\sqrt{3}) + 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы составляет $18\sqrt{3}$ квадратных единиц.