Номер 53, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

53. а) Большая диагональ основания правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а высота призмы равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.

б) Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равна 2 дм, а меньшая из диагоналей призмы равна 4 дм (рисунок 47).

Рисунок 47

а) Большая диагональ основания правильной шестиугольной призмы равна 8 см, а высота призмы равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этой призмы.

Дано:

$d_1 = 8 \text{ см}$ (большая диагональ основания)

$h = 2\sqrt{3} \text{ см}$ (высота призмы)

Перевод в СИ:

$d_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$h = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Основанием правильной шестиугольной призмы является правильный шестиугольник. Большая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Пусть $a$ - сторона основания.

$d_1 = 2a$

$8 \text{ см} = 2a$

$a = 4 \text{ см}$

Площадь основания правильного шестиугольника ($S_{осн}$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(4 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 \text{ см}^2 = 24\sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания правильного шестиугольника ($P_{осн}$) равен:

$P_{осн} = 6a$

$P_{осн} = 6 \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 24 \text{ см} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot 24\sqrt{3} \text{ см}^2 + 48\sqrt{3} \text{ см}^2 = 48\sqrt{3} \text{ см}^2 + 48\sqrt{3} \text{ см}^2 = 96\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $96\sqrt{3} \text{ см}^2$

б) Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равна 2 дм, а меньшая из диагоналей призмы равна 4 дм (рисунок 47).

Дано:

$a = 2 \text{ дм}$ (сторона основания)

$D_{м} = 4 \text{ дм}$ (меньшая из диагоналей призмы)

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$D_{м} = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

Меньшая диагональ призмы соединяет вершины, не лежащие в одной грани и не противолежащие друг другу через центр основания призмы. Она образует прямоугольный треугольник с высотой призмы ($h$) и малой диагональю основания ($d_2$).

Малая диагональ правильного шестиугольника ($d_2$) вычисляется по формуле:

$d_2 = a\sqrt{3}$

$d_2 = 2 \text{ дм} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ дм}$

Из прямоугольного треугольника, образованного меньшей диагональю призмы, высотой призмы и малой диагональю основания, по теореме Пифагора:

$D_{м}^2 = h^2 + d_2^2$

$(4 \text{ дм})^2 = h^2 + (2\sqrt{3} \text{ дм})^2$

$16 \text{ дм}^2 = h^2 + (4 \cdot 3) \text{ дм}^2$

$16 \text{ дм}^2 = h^2 + 12 \text{ дм}^2$

$h^2 = 16 - 12 = 4 \text{ дм}^2$

$h = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$

Площадь основания правильного шестиугольника ($S_{осн}$):

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2 \text{ дм})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \text{ дм}^2 = 6\sqrt{3} \text{ дм}^2$

Периметр основания правильного шестиугольника ($P_{осн}$):

$P_{осн} = 6a$

$P_{осн} = 6 \cdot 2 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 12 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^2$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$):

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 24 \text{ дм}^2 = 12\sqrt{3} \text{ дм}^2 + 24 \text{ дм}^2 = (24 + 12\sqrt{3}) \text{ дм}^2$

Ответ: $(24 + 12\sqrt{3}) \text{ дм}^2$