Номер 57, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

57. a) В наклонной треугольной призме две боковые грани равны, угол между ними $60^\circ$. Общее ребро этих граней равно $2\sqrt{3}$ м и удалено от противоположной боковой грани на расстояние, равное 4 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

б) Угол между двумя боковыми гранями наклонной треугольной призмы равен $120^\circ$, а расстояния от их общего ребра, равного 12 дм, до остальных ребер равны 7 дм и 8 дм. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

а)

Дано:
наклонная треугольная призма
две боковые грани равны
угол между этими гранями $\alpha = 60^\circ$
общее ребро этих граней (боковое ребро призмы) $l = 2\sqrt{3}$ м
расстояние от этого ребра до противоположной боковой грани $h = 4$ м

Перевод в СИ:
Все величины даны в метрах (м), что соответствует системе СИ, поэтому перевод не требуется.

Найти:
площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$

Решение:
Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $P_{перп}$ - периметр перпендикулярного сечения, а $l$ - длина бокового ребра.
По условию, две боковые грани равны. Пусть это грани $AA'B'B$ и $BB'C'C$. Их равенство означает, что соответствующие стороны перпендикулярного сечения равны. То есть, если $A_1B_1C_1$ - перпендикулярное сечение, то $A_1B_1 = B_1C_1$. Таким образом, треугольник $A_1B_1C_1$ является равнобедренным.
Угол между этими гранями равен $60^\circ$. Угол между боковыми гранями равен соответствующему углу в перпендикулярном сечении. Следовательно, $\angle A_1B_1C_1 = 60^\circ$.
Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами является равносторонним треугольником. Значит, $A_1B_1C_1$ - равносторонний треугольник.
Общее ребро этих граней - это боковое ребро $BB'$. Расстояние от этого ребра до противоположной боковой грани ($CC'A'A$) равно высоте перпендикулярного сечения, проведенной из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Пусть сторона равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ равна $a$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
По условию, $h = 4$ м.

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4$
$a\sqrt{3} = 8$
$a = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ м

Периметр перпендикулярного сечения $P_{перп}$ равен сумме длин его сторон. Поскольку это равносторонний треугольник, $P_{перп} = 3a$.

$P_{перп} = 3 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ м

Длина бокового ребра $l = 2\sqrt{3}$ м (по условию, это длина общего ребра).
Тогда площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = (8\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 16 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ м$^2$

Ответ: $48 \text{ м}^2$

б)

Дано:
наклонная треугольная призма
угол между двумя боковыми гранями $\beta = 120^\circ$
длина общего ребра этих граней (бокового ребра призмы) $l = 12$ дм
расстояния от этого общего ребра до остальных ребер $d_1 = 7$ дм и $d_2 = 8$ дм

Перевод в СИ:
$l = 12 \text{ дм} = 12 \cdot 0.1 \text{ м} = 1.2 \text{ м}$
$d_1 = 7 \text{ дм} = 7 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.7 \text{ м}$
$d_2 = 8 \text{ дм} = 8 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$

Найти:
площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$

Решение:
Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $P_{перп}$ - периметр перпендикулярного сечения, а $l$ - длина бокового ребра.
Длина бокового ребра $l = 12$ дм (по условию, это длина общего ребра).
Пусть $A_1B_1C_1$ - перпендикулярное сечение призмы.
Угол между двумя боковыми гранями равен $120^\circ$. Это угол между соответствующими сторонами перпендикулярного сечения. Пусть $\angle A_1B_1C_1 = 120^\circ$.
Расстояния от общего ребра ($BB'$) до остальных ребер ($AA'$ и $CC'$) - это длины сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ перпендикулярного сечения. То есть, $A_1B_1 = 7$ дм и $B_1C_1 = 8$ дм.
Для нахождения периметра перпендикулярного сечения $P_{перп} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1$, нам нужно найти длину стороны $A_1C_1$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1C_1^2 = A_1B_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos(\angle A_1B_1C_1)$
$A_1C_1^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставляем это значение:
$A_1C_1^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot (-\frac{1}{2})$
$A_1C_1^2 = 113 - (-56)$
$A_1C_1^2 = 113 + 56$
$A_1C_1^2 = 169$
$A_1C_1 = \sqrt{169} = 13$ дм

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения:
$P_{перп} = 7 + 8 + 13 = 28$ дм

И, наконец, площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 28 \text{ дм} \cdot 12 \text{ дм} = 336$ дм$^2$

Ответ: $336 \text{ дм}^2$