Номер 63, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

63. a) Объясните, почему любая пирамида имеет четное число ребер.

б) Сколько граней и ребер у пирамиды, в которой 15 вершин?

в) Сколько вершин и граней у пирамиды, в которой 16 ребер?

а) Объясните, почему любая пирамида имеет четное число ребер.

Основанием любой пирамиды является многоугольник. Пусть этот многоугольник имеет $n$ сторон (или $n$ вершин). Каждая из $n$ сторон основания является ребром пирамиды. Кроме того, из каждой из $n$ вершин основания к апексу (вершине) пирамиды ведет одно ребро. Таким образом, существует $n$ боковых ребер. Общее число ребер пирамиды равно сумме числа ребер основания и числа боковых ребер. Следовательно, количество ребер $E = n + n = 2n$. Поскольку $n$ — это целое число (количество сторон многоугольника, $n \ge 3$), то $2n$ всегда будет четным числом.
Ответ: Любая пирамида имеет четное число ребер, потому что число ребер равно удвоенному числу сторон основания ($2n$), а $2n$ всегда является четным числом.

б) Сколько граней и ребер у пирамиды, в которой 15 вершин?

Дано:
Количество вершин пирамиды $V = 15$

Перевод в СИ: Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются количеством элементов и не имеют физических единиц измерения.

Найти:
Количество граней $F$
Количество ребер $E$

Решение:
Пусть основание пирамиды является $n$-угольником. Количество вершин пирамиды $V$ выражается формулой $V = n + 1$, где $n$ — количество вершин основания, и еще одна вершина — это апекс пирамиды.
Известно, что $V = 15$.
Подставляем значение $V$ в формулу:
$15 = n + 1$
$n = 15 - 1 = 14$.
Таким образом, основание пирамиды — 14-угольник.

Теперь найдем количество граней $F$. Количество граней пирамиды равно числу граней основания (1 грань) плюс числу боковых граней. Число боковых граней равно числу сторон основания, то есть $n$.
Формула для количества граней: $F = n + 1$.
Подставляем $n = 14$:
$F = 14 + 1 = 15$.

Далее найдем количество ребер $E$. Количество ребер пирамиды равно числу ребер основания (равному $n$) плюс числу боковых ребер (также равному $n$).
Формула для количества ребер: $E = n + n = 2n$.
Подставляем $n = 14$:
$E = 2 \times 14 = 28$.

Ответ:
У пирамиды 15 граней и 28 ребер.

в) Сколько вершин и граней у пирамиды, в которой 16 ребер?

Дано:
Количество ребер пирамиды $E = 16$

Перевод в СИ: Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются количеством элементов и не имеют физических единиц измерения.

Найти:
Количество вершин $V$
Количество граней $F$

Решение:
Пусть основание пирамиды является $n$-угольником. Количество ребер пирамиды $E$ выражается формулой $E = 2n$, где $n$ — количество ребер основания, и $n$ — количество боковых ребер.
Известно, что $E = 16$.
Подставляем значение $E$ в формулу:
$16 = 2n$
$n = 16 / 2 = 8$.
Таким образом, основание пирамиды — 8-угольник.

Теперь найдем количество вершин $V$. Количество вершин пирамиды равно числу вершин основания (равному $n$) плюс одна вершина (апекс).
Формула для количества вершин: $V = n + 1$.
Подставляем $n = 8$:
$V = 8 + 1 = 9$.

Далее найдем количество граней $F$. Количество граней пирамиды равно числу граней основания (1 грань) плюс числу боковых граней (равному $n$).
Формула для количества граней: $F = n + 1$.
Подставляем $n = 8$:
$F = 8 + 1 = 9$.

Ответ:
У пирамиды 9 вершин и 9 граней.