Номер 62, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

62. Гараж, сделанный из листового металла, имеет форму поверхности прямой пятиугольной призмы $ABMCDA_1B_1M_1C_1D_1$. Его основанием является боковая грань $AA_1D_1D$, $AB = AD = 3$ м, $DD_1 = 4$ м, $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$. Сколько листов металла размером $1 \times 2$ м израсходовано на изготовление гаража (без учета его основания), если на швы ушло $8\%$ от площади его поверхности?

Дано:
Гараж имеет форму прямой пятиугольной призмы $ABMCD A_1 B_1 M_1 C_1 D_1$.
Основанием гаража (полом) является боковая грань $AA_1 D_1 D$.
Размеры: $AB = AD = 3$ м, $DD_1 = 4$ м.
Углы в треугольнике $MBC$: $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$.
Размер листа металла: $1 \times 2$ м.
Расход на швы: 8% от площади поверхности.

Перевод в СИ:
Все данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы).

Найти:
Количество листов металла, израсходованных на изготовление гаража (без учета его основания).

Решение:
Призма $ABMCD A_1 B_1 M_1 C_1 D_1$ означает, что ее основаниями являются пятиугольники $ABMCD$ и $A_1 B_1 M_1 C_1 D_1$. Высота призмы (длина гаража) $H = DD_1 = 4$ м.
Боковые грани призмы (стены и крыша) - это прямоугольники: $AA_1B_1B$, $BB_1M_1M$, $MM_1C_1C$, $CC_1D_1D$, $DD_1A_1A$.
По условию, грань $AA_1D_1D$ является основанием гаража (полом) и не учитывается при расчете площади. Следовательно, для облицовки гаража требуется площадь двух пятиугольных оснований (передняя и задняя стенки) и четырех боковых граней (стены и крыша): $AA_1B_1B$, $BB_1M_1M$, $MM_1C_1C$, $CC_1D_1D$.

1. Определение размеров пятиугольного основания $ABMCD$:
Предположим, что пятиугольник $ABMCD$ имеет форму "дома": прямоугольник $ABCD$ с треугольником $MBC$ на вершине. Дано $AB=3$ м, $AD=3$ м. Для симметрии и реалистичности гаража, примем $CD=AB=3$ м, а углы $\angle DAB = \angle ADC = 90^\circ$.
Тогда нижняя часть $ABCD$ является квадратом со стороной 3 м. Длина $BC = AD = 3$ м.
В $\triangle MBC$, $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$. Это равнобедренный треугольник, $MB = MC$.
Угол $\angle BMC = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$.
Высота $\triangle MBC$ (от $M$ до $BC$) $h_M$. Пусть $K$ - середина $BC$. Тогда $BK = KC = BC/2 = 3/2 = 1.5$ м.
В прямоугольном $\triangle MBK$:
$h_M = MK = BK \tan(15^\circ) = 1.5 \tan(15^\circ)$.
Воспользуемся формулой $\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
Таким образом, $MK = 1.5 (2-\sqrt{3})$ м.
Длина сторон $MB = MC = BK / \cos(15^\circ)$.
Воспользуемся формулой $\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Таким образом, $MB = MC = \frac{1.5}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{6}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$ м.

2. Расчет площади пятиугольного основания $S_{base}$:
Площадь пятиугольника $ABMCD$ состоит из площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $MBC$.
$S_{квадрата ABCD} = AD \times AB = 3 \times 3 = 9$ м$^2$.
$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \times BC \times MK = \frac{1}{2} \times 3 \times 1.5 (2-\sqrt{3}) = 2.25(2-\sqrt{3}) = (4.5 - 2.25\sqrt{3})$ м$^2$.
$S_{base} = S_{квадрата ABCD} + S_{\triangle MBC} = 9 + (4.5 - 2.25\sqrt{3}) = (13.5 - 2.25\sqrt{3})$ м$^2$.

3. Расчет площадей боковых граней:
Высота всех боковых граней призмы равна $H = DD_1 = 4$ м.
$S_{AA_1B_1B} = AB \times H = 3 \times 4 = 12$ м$^2$.
$S_{BB_1M_1M} = BM \times H = \frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} \times 4 = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ м$^2$.
$S_{MM_1C_1C} = MC \times H = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ м$^2$.
$S_{CC_1D_1D} = CD \times H = 3 \times 4 = 12$ м$^2$.

4. Расчет общей площади поверхности гаража (без пола и без учета швов):
Общая площадь поверхности, которую необходимо покрыть металлом, $S_{гаража}$, включает две пятиугольные основы и четыре боковые грани:
$S_{гаража} = 2 \times S_{base} + S_{AA_1B_1B} + S_{BB_1M_1M} + S_{MM_1C_1C} + S_{CC_1D_1D}$.
$S_{гаража} = 2(13.5 - 2.25\sqrt{3}) + 12 + 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 12$.
$S_{гаража} = (27 - 4.5\sqrt{3}) + 24 + 12(\sqrt{6}-\sqrt{2})$.
$S_{гаража} = 51 - 4.5\sqrt{3} + 12(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ м$^2$.
Используем приближенные значения:
$\sqrt{3} \approx 1.73205081$
$\sqrt{6} \approx 2.44948974$
$\sqrt{2} \approx 1.41421356$
$S_{гаража} \approx 51 - 4.5(1.73205081) + 12(2.44948974 - 1.41421356)$.
$S_{гаража} \approx 51 - 7.794228645 + 12(1.03527618)$.
$S_{гаража} \approx 51 - 7.794228645 + 12.42331416 \approx 55.629085515$ м$^2$.

5. Расчет площади материала с учетом швов:
Пусть $S_{материала}$ - требуемая площадь металла. На швы уходит 8% от площади поверхности, значит, сама поверхность составляет $100\% - 8\% = 92\%$ от общего количества материала.
$S_{гаража} = S_{материала} \times (1 - 0.08) = S_{материала} \times 0.92$.
$S_{материала} = \frac{S_{гаража}}{0.92} = \frac{55.629085515}{0.92} \approx 60.4663973$ м$^2$.

6. Расчет количества листов:
Площадь одного листа металла $S_{листа} = 1 \times 2 = 2$ м$^2$.
Количество листов $N = \frac{S_{материала}}{S_{листа}} = \frac{60.4663973}{2} \approx 30.23319865$.
Поскольку нельзя использовать части листов, необходимо округлить полученное количество в большую сторону.

Ответ: 31