Номер 64, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

3. Пирамида и ее элементы. Площадь поверхности пирамиды. I. Многогранники - номер 64, страница 36.

Условие.

64. a) Основанием пирамиды является параллелограмм. Две соседние ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а длина меньшего бокового ребра равна 17 см. Найдите высоту пирамиды.

б) Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна 4 дм. Одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а противоположное ему ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано:
Основание пирамиды – параллелограмм.
Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
Длина меньшего бокового ребра $l_{min} = 17$ см.

Перевод в СИ:
$l_{min} = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$.

Найти: Высоту пирамиды $H$.

Решение:
Пусть основание пирамиды – параллелограмм $ABCD$, а вершина – $S$.
Если две соседние боковые грани пирамиды, например $SAB$ и $SAD$, перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, то их общее ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания.
Следовательно, ребро $SA$ является высотой пирамиды $H$.
Рассмотрим длины боковых ребер пирамиды: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$.
Так как $SA$ является высотой, то треугольники $SAB$, $SAD$ и $SAC$ (если провести диагональ $AC$) являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).
Длины других боковых ребер вычисляются по теореме Пифагора:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2}$
$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2}$
$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2}$
Поскольку $AB > 0$, $AD > 0$, $AC > 0$, то $SB > SA$, $SD > SA$, $SC > SA$.
Из этого следует, что наименьшим боковым ребром является ребро $SA$.
По условию задачи, длина меньшего бокового ребра равна 17 см.
Значит, высота пирамиды $H = SA = 17$ см.

Ответ: 17 см.

б)

Дано:
Основание пирамиды – квадрат со стороной $a = 4$ дм.
Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания.
Противоположное ему ребро наклонено к плоскости основания под углом $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:
$a = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$.
$\alpha = 45^\circ$.

Найти: Высоту пирамиды $H$.

Решение:
Пусть основанием пирамиды является квадрат $ABCD$, а вершина – $S$.
По условию, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро $SA$.
Тогда $SA$ является высотой пирамиды ($H = SA$), и $SA \perp (ABCD)$.
Ребро, противоположное ребру $SA$, это ребро $SC$.
Угол между ребром $SC$ и плоскостью основания $ABCD$ – это угол между ребром $SC$ и его проекцией на плоскость основания.
Так как $SA \perp (ABCD)$, то точка $A$ является проекцией вершины $S$ на плоскость основания. Следовательно, проекцией ребра $SC$ на плоскость основания является диагональ $AC$ квадрата.
Таким образом, угол наклона ребра $SC$ к плоскости основания – это угол $\angle SCA$.
По условию, $\angle SCA = 45^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAC$ (угол $\angle SAC = 90^\circ$, так как $SA \perp AC$).
Длина диагонали квадрата со стороной $a$ находится по формуле: $AC = a\sqrt{2}$.
Для данного квадрата $a = 4$ дм, поэтому $AC = 4\sqrt{2}$ дм.
В прямоугольном треугольнике $SAC$ тангенс угла $\angle SCA$ равен отношению противолежащего катета $SA$ к прилежащему катету $AC$:
$\tan(\angle SCA) = \frac{SA}{AC}$
Подставляем известные значения:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{4\sqrt{2}}$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$1 = \frac{H}{4\sqrt{2}}$
Отсюда, $H = 4\sqrt{2}$ дм.

Ответ: $4\sqrt{2}$ дм.