Номер 69, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

69. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а ее апофема равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Дано:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды: $a = 10 \text{ см}$

Апофема пирамиды: $l = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$l = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$)

Решение:

Площадь полной поверхности правильной пирамиды равна сумме площади ее основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1.

Найдем площадь основания ($S_{осн}$). Основанием является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставим значение $a = 10 \text{ см}$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (10 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 100 \text{ см}^2 = 150\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2.

Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из $n$ одинаковых равнобедренных треугольников (граней), где $n$ - количество сторон основания. Для шестиугольной пирамиды $n=6$. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $l$ - апофема пирамиды.

Периметр основания: $P_{осн} = n \cdot a = 6 \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 30 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$.

3.

Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 150\sqrt{3} \text{ см}^2 + 240 \text{ см}^2$.

Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$S_{полн} \approx 150 \cdot 1.732 + 240 = 259.8 + 240 = 499.8 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды составляет $(150\sqrt{3} + 240) \text{ см}^2$, или приблизительно $499.8 \text{ см}^2$.