Номер 76, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

76. В правильной треугольной пирамиде высота равна 4 см, а сторона основания – $2\sqrt{3}$ см. Сравните площади боковых поверхностей этой пирамиды и пирамиды с такими же основанием и высотой, если высота совпадает с одним из ее боковых ребер.

Дано:

Пирамида 1 (правильная треугольная):
Высота $H_1 = 4 \text{ см}$
Сторона основания $a_1 = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Пирамида 2 (с тем же основанием и высотой, высота совпадает с одним из боковых ребер):
Высота $H_2 = 4 \text{ см}$
Сторона основания $a_2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Перевод в СИ:

$H_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$a_1 = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$
$H_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$a_2 = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

Сравнить площади боковых поверхностей $S_{лат1}$ и $S_{лат2}$.

Решение:

Расчет площади боковой поверхности первой пирамиды:

Основание - правильный треугольник со стороной $a_1 = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Высота пирамиды $H_1 = 4 \text{ см}$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется по формуле $S_{лат} = \frac{1}{2} P_о h_а$, где $P_о$ - периметр основания, $h_а$ - апофема боковой грани.
1. Найдем периметр основания:
$P_о = 3a_1 = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.
2. Найдем радиус вписанной окружности в основание (это проекция апофемы на плоскость основания для правильной пирамиды). Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 \text{ см}$.
3. Найдем апофему $h_{а1}$ (высоту боковой грани) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности основания и апофемой:
$h_{а1}^2 = H_1^2 + r_1^2$
$h_{а1}^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$
$h_{а1} = \sqrt{17} \text{ см}$.
4. Рассчитаем площадь боковой поверхности первой пирамиды:
$S_{лат1} = \frac{1}{2} P_о h_{а1} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{17} = 3\sqrt{3 \cdot 17} = 3\sqrt{51} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{лат1} = 3\sqrt{51} \text{ см}^2$.

Расчет площади боковой поверхности второй пирамиды:

Основание - правильный треугольник со стороной $a_2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Высота пирамиды $H_2 = 4 \text{ см}$ совпадает с одним из боковых ребер. Пусть вершина пирамиды - $S$, а вершины основания - $A, B, C$. Если высота $SA$ совпадает с боковым ребром, то $SA = H_2 = 4 \text{ см}$ и $SA$ перпендикулярна плоскости основания.
Боковая поверхность состоит из трех треугольников: $\triangle SAB$, $\triangle SAC$, $\triangle SBC$.
1. $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ - прямоугольные треугольники, поскольку $SA$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, перпендикулярна сторонам $AB$ и $AC$.
Площадь $\triangle SAB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Площадь $\triangle SAC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.
2. $\triangle SBC$ - равнобедренный треугольник, так как $SB = SC$ (симметрия относительно прямой, проходящей через $S$ и середину $BC$). Найдем длины боковых ребер $SB$ и $SC$ с помощью теоремы Пифагора в прямоугольных треугольниках $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ соответственно:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см}$.
$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см}$.
Основание $BC = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Найдем высоту $\triangle SBC$ из вершины $S$ к стороне $BC$. Пусть $M$ - середина $BC$. Тогда $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.
Высота $SM$ (апофема $\triangle SBC$) находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle SMB$:
$SM^2 = SB^2 - BM^2 = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 28 - 3 = 25$
$SM = 5 \text{ см}$.
Площадь $\triangle SBC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 = 5\sqrt{3} \text{ см}^2$.
3. Рассчитаем общую площадь боковой поверхности второй пирамиды:
$S_{лат2} = Area(\triangle SAB) + Area(\triangle SAC) + Area(\triangle SBC) = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (4+4+5)\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{лат2} = 13\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Сравнение площадей боковых поверхностей:

Нам нужно сравнить $S_{лат1} = 3\sqrt{51}$ и $S_{лат2} = 13\sqrt{3}$.
Для сравнения возведем оба значения в квадрат, так как обе площади положительны:
$(S_{лат1})^2 = (3\sqrt{51})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{51})^2 = 9 \cdot 51 = 459$.
$(S_{лат2})^2 = (13\sqrt{3})^2 = 13^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 169 \cdot 3 = 507$.
Поскольку $507 > 459$, то $S_{лат2} > S_{лат1}$.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой высота совпадает с одним из боковых ребер ($S_{лат2}$), больше, чем площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{лат1}$).