Номер 72, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

72. a)

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота приближенно равна 137 м. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды (ответ округлите до сотен m²).

Пирамида Хеопса, Египет

Дворец Мира и Согласия, г. Нур-Султан

б)

Дворец Мира и Согласия в г. Нур-Султане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, высота и сторона основания которой равны 62 м. Найдите с точностью до 1 m² площадь боковой поверхности этой пирамиды.

а) Пирамида Хеопса

Дано:

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды.

Сторона основания $a = 230 \text{ м}$

Высота $h = 137 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Данные уже представлены в единицах СИ (метры).

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $l$ - апофема (высота боковой грани).

Поскольку основание - квадрат со стороной $a$, периметр основания $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 230 \text{ м} = 920 \text{ м}$

Чтобы найти апофему $l$, используем теорему Пифагора. Апофема, высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $a/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Половина стороны основания $\frac{a}{2} = \frac{230}{2} = 115 \text{ м}$

$l = \sqrt{137^2 + 115^2}$

$l = \sqrt{18769 + 13225}$

$l = \sqrt{31994} \text{ м}$

$l \approx 178.8686 \text{ м}$

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 920 \text{ м} \cdot 178.8686 \text{ м}$

$S_{бок} = 460 \cdot 178.8686 \text{ м}^2$

$S_{бок} \approx 82279.556 \text{ м}^2$

Округлим ответ до сотен м$^2$:

$S_{бок} \approx 82300 \text{ м}^2$

Ответ: $82300 \text{ м}^2$

б) Дворец Мира и Согласия в г. Нур-Султане

Дано:

Дворец Мира и Согласия имеет форму правильной четырехугольной пирамиды.

Высота $h = 62 \text{ м}$

Сторона основания $a = 62 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Данные уже представлены в единицах СИ (метры).

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $l$ - апофема (высота боковой грани).

Поскольку основание - квадрат со стороной $a$, периметр основания $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 62 \text{ м} = 248 \text{ м}$

Чтобы найти апофему $l$, используем теорему Пифагора. Апофема, высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $a/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Половина стороны основания $\frac{a}{2} = \frac{62}{2} = 31 \text{ м}$

$l = \sqrt{62^2 + 31^2}$

$l = \sqrt{3844 + 961}$

$l = \sqrt{4805} \text{ м}$

$l \approx 69.3181 \text{ м}$

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 248 \text{ м} \cdot 69.3181 \text{ м}$

$S_{бок} = 124 \cdot 69.3181 \text{ м}^2$

$S_{бок} \approx 8595.4444 \text{ м}^2$

Округлим ответ с точностью до 1 м$^2$:

$S_{бок} \approx 8595 \text{ м}^2$

Ответ: $8595 \text{ м}^2$